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Schuesselpeilung-Applet

Anpeilen von geostationären Satelliten.

Bislang habe ich meinen Fernseher an einer terrestrischen Antenne betrieben. Nun wollte ich mich aber nicht weiter dem technischen Fortschritt verschließen und beschäftige mich seither mit der Grundfrage: Wo stehen sie denn, die sog. "geostationären" Satelliten ? Wie müsste ich sie mit meiner neuen "Schüssel" anpeilen ? 

Nun praktisch stehe ich natürlich nicht vor der Frage, weil diese Aufgabe für mich von kompetenteren Mitmenschen mit Hilfe von Messempfängern bewerkstelligt wird. Aber interessiert hat mich die Frage doch.

Zunächst fand ich, dass die kleine Schar der "ASTRA" Satelliten auf der Position 19,2 ° Ost stehen soll. Wie ist das aber zu verstehen ? Nun ich meine, dass es bedeutet, dass diese Satelliten derart über dem Äquator stehen, dass ich an der geografischen Position mit der Breite 0 ° und der Länge 19,2°  Ost stehend, die Satelliten genau über mir im Zenit finden müsste.

In Anlehnung an meine bisherigen Überlegungen zur Peilung nach Sternen ist aber sicher nicht ohne Belang, dass diese Satelliten sich nicht in "astronomischen" Entfernungen von der Erde befinden sondern in vergleichsweise niedriger Höhe über dem Äquator stehen. Dies lässt die Frage nach der konkreten Höhe aufkommen.

Andererseits muss nicht wie beim Anzielen von Sternen für jeden Augenblick eine eigene Position am Himmel berechnet werden, denn geostationär heißt ja, dass die Satelliten über dem Äquator mit gleicher Geschwindigkeit wie der Beobachter auf der Erde die Drehung um die Erdachse mitmachen. Daher bleibt für diesen Beobachter ein solcher Satellit immer an der gleichen Stelle während sich dahinter der Fixsternhimmel scheinbar über unserer Position dreht. Es kann also bei der Berechnung die komplizierte Zeitabhängigkeit von Sternpositionen keine Rolle spielen, von einer Berücksichtigung der Zeit darf also abgesehen werden.

Aus der Schulphysik sind mir die Zusammenhänge bekannt, die einen Satelliten eigentlich auf einer geostationären Bahn halten müssten. Trotzdem kann ich mir aber vorstellen, dass da gelegentlich nachgeholfen, also die Position korrigiert werden muss, vielleicht alleine schon wegen des sog. "Sonnenwindes", der den Satelliten möglicherweise aus der Position drücken wird. Aber das braucht mich ja nicht zu kümmern, wenn ich eine stabile Umlaufhöhe "theoretisch" berechnen will.

Die erste Formel liefert mir die zwischen Erde und Satellit wirkende Gravitationskraft. In dieser Formel kommen die folgenden physikalischen Größen vor (z.B aus einer Formelsammlung wie : Sieber, mathematische Tafeln)

G, die Gravitationskonstante :  6,670 · 10-11 m3/kg · s2

m, Masse des Satelliten

M, Masse der Erde : 5,974 · 1024 kg

r, Abstand des Satelliten vom Mittelpunkt der Erde

F, Gravitationskraft in Newton (N)

F = G · m · M / r2

Diese Gravitationskraft erzwingt nun an dem Satelliten (Masse m, und Abstand vom Erdmittelpunkt r) eine Beschleunigung, die immer zum gleichen Erdzentrum gerichtet ist und daher Zentripetalbeschleunigung heißt (der Ausdruck ist wohl vom lateinischen Wort "petere" = streben nach, im Sinne also von "nach dem Zentrum strebend" abgeleitet, man sollte also tunlichst nicht "zentripedal" schreiben). Durch diese Beschleunigung wird der Satellit auf eine Kreisbahn gezwungen (gegen seine eigene Trägheit, die ihn sonst unbeschleunigt seinen Weg nehmen ließe). Eine Kreisbahn, die aus der Zentripetalbeschleunigung resultiert, wenn unser Satellit mit seiner Masse m im Abstand r vom Erdmittelpunkt mit der Umlaufdauer T zirkuliert ist auf folgende Weise mit der Zentripetalkraft verknüpft :

F = 4 · p2 · m · r / T2

Wenn man nun berücksichtigt, dass es die Gravitationskraft ist, die diese Kreisbahn erzwingt, kann man beide Gleichungen kombinieren zu :

G · m · M / r2 = 4 · p2 · m · r / T2

Es ist bemerkenswert, dass sich nun auf beiden Seiten bei Division durch m die Satellitenmasse aus dem Zusammenhang "verabschiedet", dass also diese Masse auf die Geometrie der Bahn keinen Einfluss hat. Ein schwerer und ein leichter Satellit würden demnach die gleiche Kreisbahn beschreiben.

Nach r aufgelöst ergibt sich für den Abstand zwischen Erdmittelpunkt und Satellit :

 r = (G·M·T2/(4·p2))1/3  

Anmerkung : Die hochgestellte Zahl 1/3 hat die Bedeutung einer "dritten Wurzel".

Zur Umlaufdauer T noch die folgenden Ergänzung: Da der Satellit geostationär umläuft, ist T die Zeit, die die Erde benötigt, um sich genau einmal um ihre Achse zu drehen.  Diese dauert aber wegen des hierbei erforderlichen Bezugs zum Fixsternhimmel statt zur Sonne 3 Minuten und 56 Sekunden kürzer als der 24 Stunden "Sonnentag". T ist demnach nicht mit 24·3600 Sekunden = 86400 Sekunden, sondern mit 86164 Sekunden zu veranschlagen. Diese Zeitspanne wird auch ein "Sterntag" genannt.

Wenn ich mit dieser Formel nun den Satellitenabstand vom Erdmittelpunkt berechne, erhalte ich r = 42162527 m. Zieht man davon noch den mittleren Erdradius mit R =  6371030 m ab, so erhält man als Höhe der Satelliten über dem Äquator 35791497 m, also gerundet die oft zitierten 36000 km Höhe.

Der weitere Gang der Überlegungen fiel mir deutlich schwerer, weil ich dazu eigentlich etwas von sphärischer Trigonometrie hätte verstehen müssen. Leider habe ich darüber aber nie etwas gelernt. Daher war ich wieder auf die Formelsammlung angewiesen. Nur so viel hatte ich schon begriffen: Bei den hier zur Rede stehenden "sphärischen" Dreiecken, also den Dreiecken auf Kugeloberflächen, werden eigentlich auch die drei Seiten in gewisser Weise als Winkel aufgefasst. Es handelt sich nämlich um sog. Großkreisstrecken (Großkreise sind Schnittlinien zwischen der Kugeloberfläche und Ebenen durch den Kugelmittelpunkt), die sich durch den Winkelabstand der Endpunkte, gesehen vom Kugelmittelpunkt aus, beschreiben lassen. Natürlich sind auch zwischen den Seiten dieser Dreiecke wieder Winkel messbar, die den Winkeln in ebenen Dreiecken anschaulicher entsprechen.

Das sphärische Dreieck, das mir zur Bestimmung des Azimuts zum "Fußpunkt" des Satelliten auf dem Äquator dient, hat seinen ersten Punkt an meinem Standort mit meinen geografischen Koordinaten : 48,34 ° nördliche Breite und 7,86° östliche Länge. Der zweite Punkt dieses Dreiecks liegt auf dem Äquator bei der Länge meines Standortes, also bei 0 Grad nördliche Breite und 7,86° östliche Länge. Der dritte Punkt ist der Fußpunkt des Satelliten auf dem Äquator, also der Punkt mit den Koordinaten 0 ° nördliche Breite und 19,2 ° östliche Länge (für die ASTRA-Satelliten). Der Winkel am Punkt 2 - zwischen den Richtungen zu den Punkten 1 und 3 ist ein rechter Winkel. Deswegen kann ich in meiner Formelsammlung die Formeln für rechtwinklige Kugeldreiecke verwenden.

Ich benenne nun die Punkte 3,2 und 1 mit den Großbuchstaben A, B und C (mein Standort hat also die Bezeichnung B). Die dortigen Winkel heißen Alfa, Beta und Gamma (a, b, g). Die Seiten heißen: Zwischen A und B: Seite c, zwischen B und C : Seite a und zwischen C und A : Seite b.

Die Seiten a und b sind mir - wie oben erwähnt als Winkel - bekannt. Die Seite a hat die Größe 48,34°, nämlich die Differenz der Breitengrade meines Standortes und des Äquators. Die Seite b hat den Wert -11,34°, nämlich 7,68° - 19,2°. Was ich zunächst brauche ist Beta, also der Winkel von meinem Standort zwischen der Südrichtung und der Richtung zum Satellitenfußpunkt. Mit diesen Vorgaben suche ich eine passende Formel in meiner Formelsammlung.

b = atan(tan(b)/sin(a))

tan(b) = tan(-11,34°) = -0,2005,      sin(a) = sin(48,34°) = 0,7471,      tan(b)/sin(a) = -0,2684, 

=>  b = atan(-0,2684) = -15,02°

Ich muss also in Bezug auf die Südrichtung um 15,02° nach Osten zielen, wenn ich von meinem Standort aus die ASTRA-Satelliten anpeilen will - oder anders ausgedrückt : Der Azimutwinkel (also unter Bezug auf die Nordrichtung) zu diesen Satelliten ist von meinem Standort aus :  

Az = 180° - 15,02° = 165,0 ° (gerundet)

Für die Frage nach der Höhe in der mir der Satellit über dem Horizont erscheint ist natürlich der Blick längs der Großkreisdistanz (Seite c) von meiner Position zum Satelliten-Fußpunkt auf dem Äquator maßgebend. Diese Entfernung - ausgedrückt durch den Winkelabstand der beiden Punkte von Erdzentrum aus - ist laut Formelsammlung - so zu berechnen :

cos(c) = cos(a) · cos(b)

cos(48,34°) · cos(-11,34°) = 0,6517 = cos(c)

c = acos(0,6517) = 49,33°

Die folgende Skizze soll die Zusammenhänge anschaulich werden lassen :

Zunächst berechne ich die Schrägdistanz zum Satelliten (d). 

Nach dem Kosinussatz beträgt diese Strecke :

d = (R2 + r2 - 2 · R · r · cos(c)) 1/2              (das hoch 1/2 steht für die Wurzel)

d2 = (42162527 m)2 + (6371030 m)2 - 2·42162527 m·6371030 m·cos(49,33°) = 1,468·1015 m2

Daraus folgt :     d = Quadratwurzel aus 1,468·1015 m2 = 38316450 m

Nach dem Sinussatz gilt nun für den Sinus des zunächst gesuchten Winkels r :

sin (r) = sin(c) · r/d = sin(49,33°) · 42162527/38316450 = 0,83460

der zugehörige Winkel r wäre demnach asin(0,83460) = 56,575 °, was offensichtlich falsch ist, denn der besagte Winkel ist ja größer als 90°, wie man aus der Zeichnung sieht. Es ist also nach dem Winkel zu suchen, der zwischen 90° und 180° liegt und dessen Sinuswert auch 0,83460 ergibt. Dieser Winkel ist - wegen der Symmetrie der Sinusfunktion zum Winkelwert 90° : 

90° + (90° - 56,575°) = 180° - 56,575° = 123,425° . 

Tatsächlich, wie am Taschenrechner abzulesen ist, beträgt auch bei diesem Winkel der Sinuswert 0,8346. Der gesuchte Elevationswert ist nun offensichtlich um 90° kleiner, beträgt also :

Elevation = 33,4 °

Damit ist meine Frage beantwortet.

Für eigene Berechnungen steht inzwischen ein Applet bereit.

Diese Seite wurde verfasst am 7.03.2001

Letzte Aktualisierung : 19.06.2002