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Anmerkungen zur Problematik des Kartendatums

Einführung

  • Im Zusammenhang mit der Einführung von GPS-Handgeräten wurde auch bei uns Nichtfachleuten ein gewisser Bedarf geweckt, den Begriff eines "Kartendatums" wenigstens in groben Ansätzen zu verstehen.
  • Bei uns in der BRD war von Seiten der GPS-Nutzer alsbald hauptsächlich von 2 solchen Systemen die Rede: Potsdam-Datum und WGS84-Datum, so hießen sie.
  • Die GPS-Empfänger, so merkte man rasch, lieferten ihre Positionsangaben zunächst im WGS84-Datum.
  • Die Karten, die hier zu kaufen sind (insbesondere die Topografischen Karten von den Landesvermessungsämtern, z.B. im Maßstab 1 : 25000 - früher auch "Messtischblätter" genannt - weisen aber am Rand Längen- und Breitengradskalen auf, die sich laut Legende auf das sog. "Potsdam-Datum" beziehen.
  • Inzwischen weisen allerdings die meisten GPS-Handgeräte auch die Möglichkeit auf, sich die Position in einem anderen Kartendatum anzeigen zu lassen. Wenn man die vom Gerät gezeigte Position auf deutschen Karten finden will, muss man sich also die Werte am besten gleich im Potsdam-Datum anzeigen lassen.
  • Wer sich genauer mit dem Begriff befassen will, kann sich dazu eines ausgezeichneten Hilfsmittels bedienen, das offenbar aber noch nicht alle Interessierten kennen. Ich schließe das aus mancherlei Anfragen zum Thema "Kartendatum", die ich oft mit einem Hinweis auf dieses schöne Hilfsmittel beantworten kann. Ich meine die bei den Landesvermessungsämtern erhältlichen topografischen Karten auf CD-ROM. In Baden Württemberg gibt es diese digitalisierten Karten inzwischen auch im Maßstab 1 : 25000 (TOP25 Baden-Württemberg). Die Beschreibung der beiden CDs (BW-Nord und BW-Süd) ist hier zu finden. Neben der detailgenauen Bildschirmkarte kann man sich auch die Positionen eines GPS-Empfängers auf der Karte zeigen lassen (Moving Map) - und insbesondere kann man mit dem Maus-Cursor leicht Punkte anfahren und sich deren Koordinaten in den verschiedensten Systemen anzeigen lassen.
  • Um Ihnen einen Eindruck insbesondere dieser Fähigkeiten des Programms auf der CD zu vermitteln, habe ich hier einen kleinen Kartenausschnitt abgebildet, auf dem nacheinander 7 verschiedene Koordinatensysteme als Gitternetz eingeblendet werden:

   

Man kann also sehen, dass es für eine zweifelsfreie Positionsbeschreibung ganz entscheidend darauf ankommt, dass man zusammen mit der Positionsangabe auch das "verwendete Kartendatum" mitteilt.

  • Bei den hier gezeigten Beispielen lassen sich zwei Gruppen unterscheiden. Die Koordinaten der Gruppe "Geografisch" zeigen Koordinatenwerte in Grad, d.h. die Positionen werden als geografische (ellipsoidische) Länge und Breite angezeigt, ggf. ergänzt um sog. ellipsoidische Höhen. Es handelt sich also um ellipsoidische Koordinaten, die sich aber hinsichtlich der Art des zugrunde liegenden Ellipsoids unterscheiden. Unsere Beispiele beziehen sich der Reihe nach auf das WGS84-Ellipsoid, das Hayford-Ellipsoid (im Datum ED50), das GRS80-Ellipsoid (im Datum ETRS89) und das Bessel-Ellipsoid (im Potsdam-Datum). . Das GRS80- und das WGS84-Ellipsoid stimmen hinsichtlich der Ergebnisse praktisch überein. In der zweiten Gruppe liegen Koordinatenwerte in der Einheit Meter vor und beziehen sich wieder auf verschiedene Ellipsoide: Die Gauß-Krüger-Koordinaten (Bessel-Ellipsoid), und die beiden UTM-Systeme: UTM-ED50 (Bezugsfläche Hayford-Ellipsoid) und UTM-WGS84 (Bezugsfläche WGS84-Ellipsoid).
  • Anmerkung: Die an anderer Stelle erwähnten Kartesischen Koordinaten sind ebenfalls "metrische" aber räumliche Koordinaten. Sie spielen zwar bei der Koordinatenumrechnung eine Rolle, kommen aber zur Positionsbeschreibung in den ebenen Kartenblättern natürlich nicht vor. Kartesische Koordinaten sind auch keine ellipsoidischen Koordinaten.
  • Sofern man bei einem gewählten Ellipsoid bleibt, kann man mit Hilfe von Transformationsgleichungen räumliche in die ebenen Koordinaten (und umgekehrt) ziemlich einfach und widerspruchsfrei umrechnen.
  • Sobald man aber beim Systemübergang (Quelle - Ziel) auf ein Zielsystem trifft, dem ein anderes Ellipsoid zugrunde liegt, muss man mit Komplikationen rechnen und braucht sog. Transformationsparameter. Diese sind vorher aus unabhängigen Messungen in beiden Systemen und an denselben Punkten ("Identische Punkte" oder "Stützpunkte") über Ausgleichsrechnungen zu gewinnen. Wegen der nie zu vermeidenden Widersprüche kommt es bei solchen Transformationen immer zu Klaffungen, die mit optimierten Parametern möglichst klein gehalten werden sollen.
  • Wie man also sehen kann ist auch bei Koordinatentransformationen immer genau zu beachten, welches Ellipsoid jeweils zum Quell- und zum Zielsystem gehört.

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Ellipsoide als Modelle für die ziemlich unregelmäßig geformte Erdoberfläche.

  • Aus dem Erdkundeunterricht haben wir behalten, dass die Erde nicht wirklich eine Kugel sondern infolge der Rotation um die Polachse leicht "abgeplattet" sei. In Tabellenbüchern (3) können wir auch lesen, dass - vom "Erdmittelpunkt" aus gesehen der Pol eine Entfernung von 6356.77 km hat (Polradius), während die Strecke Mittelpunkt - Äquator 6378.16 km misst (Äquatorradius), also wirklich größer ist. Groß ist der Unterschied aber nicht, gerade mal 3 Promille. Es werden also auch Menschen mit "gutem Augenmaß" ihre liebe Mühe haben, an einem maßstäblich richtigen Modell noch zu erkennen, dass das keine Kugel sein soll! Wir hören dann noch, dass eine Figur dieser Art (Rotations)-Ellipsoid genannt wird.
  • Was ist nun aber ein Ellipsoid? Näher liegt da zunächst die Frage: Was ist eine Ellipse? Dazu hier lieber ein Bild statt abstrakter Worte:

Anmerkung: Ein Kreis kann als eine spezielle Ellipse aufgefasst werden, bei der die beiden Halbachsen aber gleich lang sind. Es ist dort also nicht mehr sinnvoll 2 Halbachsen zu unterscheiden, und man nennt diese eine Halbachse dann eben Radius.

  • Wenn man jetzt die ebene Figur Ellipse um ihre kleine Achse rotieren lässt, entsteht ein (räumliches) Rotationsellipsoid.

  • Dieser Körper kann, wenn man seine Lagerung im Raum unbeachtet lässt, durch seine beiden Halbachsen, nämlich die große und die kleine Halbachse vollständig beschrieben werden. Wenn man nun ein Ellipsoid der Erdoberfläche möglichst gut anpassen will, wird man der kleinen Halbachse eine Länge von 6356.77 km und der großen Halbachse eine Länge von 6378.16 km geben. Außerdem wird man das Ellipsoid mit seinem Mittelpunkt (Schnittpunkt der beiden Achsen) in den Erdmittelpunkt legen und die kleine Halbachse zum Pol orientieren. Zu beachten ist nach dem weiter oben Gesagten, dass sich beim Erdellipsoid die beiden Halbachsen in ihrer Länge viel weniger unterscheiden als es aus Gründen der Verdeutlichung auf unserem Bild der Fall ist.

  • Angesichts dieser Beschreibung wird man sich nun wundern, warum in der Landesvermessung überhaupt von verschiedenen Ellipsoiden geredet wird. Sehen wir uns aber für die oben erwähnten Ellipsoide die Werte, also ihre kleinen und großen Halbachsen näher an und lassen wir (als Nichtfachleute) im Übrigen die Frage offen:
Ellipsoid
WGS84
GRS80
Hayford
Bessel
große Halbachse (a)
6378137.00000 m
6378137.00000 m
6378388.00000 m
6377397.15508 m
kleine Halbachse (b)
6356752.31425 m
6356752.31414 m
6356911.94613 m
6356078.96290 m
  • Wie man sieht, sind die Werte alle verschieden aber keines dieser Ellipsoide zeigt genau die Halbachsenwerte, die wir - siehe oben - aus dem Tabellenwerk (3) entnommen haben (a = 6378.16 km, b = 6356.77 km). Fast identisch sind die Werte des WGS84- und des GRS80-Ellipsoids.
  • Die beiden Ellipsoide WGS84 und GRS80 werden mir ihrem Zentrum im "Mittelpunkt der Erde" (geozentrisch) gelagert und ihre kleine Achse in die Polachse ("Erdachse", Gerade vom Nord- zum Südpol) gelegt. Maßgabe der Brauchbarkeit scheint eine möglichst gute "Anschmiegung" an die unregelmäßigere Erdoberfläche zu sein und es ist klar, dass die Beurteilung der "Güte" eines solchen Ellipsoids erst mit "überlegenen" Messmitteln möglich sein wird. Diese hohe Präzision ist vielleicht erst mit Hilfe von Satelliten (wie z.B. GPS-Satelliten) möglich geworden. Man hört, dass sich global die Abweichungen zwischen Erdoberfläche (eigentlich Geoidfläche) und diesem "mittleren Erdellipsoid" in der Größenordnung von ± 100 m bewegen sollen. (1)
  • Die übrigen Ellipsoide haben nicht nur etwas andere Achsenlängen sondern sind, wie man lesen kann, zudem so gelagert, dass sie sich eher für ein begrenzteres Gebiet an die dortige Erdoberfläche (eigentlich Geoidfläche) optimal anschmiegen. Dies bedeutet dann, dass sie mit ihrem Zentrum nicht unbedingt genau ins Erdzentrum gelegt sind und die kleine Achse muss auch nicht notwendigerweise parallel zur Erdachse liegen ("konventionelle Ellipsoide").
  • Zu den ellipsoidischen Koordinaten noch zwei Skizzen zur Verdeutlichung der Koordinatenfestlegung :

Blick "von oben" auf die Äquatorebene des Rotationsellipsoids

Mit dieser Definition gibt es wohl kaum Probleme!

Blick auf die Meridianebene durch den Längengrad l (Lambda)

Hier kann man schon eher ins Grübeln geraten, aber so ist nun mal die geografische Breite Phi definiert, nämlich als Schnittwinkel der Flächennormalen der Horizontalebene (oben unscharf "Lotrichtung" genannt) am Standort mit der Äquatorebene.

- und bitte, versuchen Sie nicht reihenweise Erdkunde-Lehrer "aufs Kreuz zu legen", indem Sie sie die folgenden falsche Auffassung absegnen lassen. Das wäre reine Fallenstellerei!

Immerhin hat ja auch diese Art von Breite einen Namen, nämlich "Geozentrische Breite"! (2)

Neuerdings kann ich auf mein Applet verweisen, das die drei Varianten des Begriffes "Breite" auf einem Ellipsoid aufzeigt und zum Beobachten der Veränderungen beim Spielen mit zwei Schiebereglern einlädt.

Die einzelnen Pfade der Transformationen

Die folgende Skizze kann anschaulich machen, auf welchen Wegen man die 7 verschiedenen Koordinatenarten ineinander umrechnen kann:

  • Die roten Pfeile sollen durch ihre geknickte Form andeuten, dass "Umformungen" (4) mit Hilfe von Transformationsparametern erforderlich sind. Die geraden schwarzen Pfeile zeigen an, dass die Transformation "glatt" und widerspruchsfrei funktioniert. Solche Transformationen werden daher als "Umrechnungen" (4) von den Umformungen unterschieden. Der sehr kleine Knick in der Verbindungslinie zwischen Geog-ETRS89 und Geog.-WGS84 soll andeuten, dass diese Umformung zu praktisch identischen Koordinatenwerten führt (wegen der praktisch übereinstimmenden Ellipsoidwerte).
  • Man kann auf dieser Skizze leicht nachvollziehen, auf welchen Wegen man prinzipiell zwischen den verschiedenen Koordinatenarten hin und her wechseln kann. So würde man beipielsweise aus Gauß-Krüger-Koordinaten (inkl. der ellipsoidischen Höhe über dem Bessel-Ellipsoid) zunächst in Geografische Koordinaten im Potsdam-Datum umrechnen und danach mit den optimierten Transformationsparametern in die ellipsoidischen Koordinaten des Geogr.-WGS84-Datums umformen. Von dort würde eine weitere Umrechnung zu UTM-WGS84-Werten führen.

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Literatur .

(1) Bernhard Heck, Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung, Herbert Wichmann Verlag Heidelberg

(2) Albert Schödlbauer, Rechenformeln und Rechenbeispiele zur Landesvermessung, Teil 1, Herbert Wichmann Verlag Karlsruhe

(3) Sieber, Mathematische Tafeln, Ernst Klett Verlag Stuttgart

(4) H. Fröhlich und H. Körner, Geodätische Koordinatentransformationen, Selbstverlag (http://koordinatentransformation.de/)

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Diese Seite wurde erstellt am : 24.03.2003

Letzte Aktualisierung : 29.01.2008