Nach oben

Rückwärtseinschnitt, Teil 2

Hier also geht es weiter.

Es sollen jetzt die Koordinaten des Punktes T bestimmt werden.

 

 

Wie in der obigen Skizze (Cassinische Kreise) ersichtlich, haben wir 2 neue Hilfspunkte (D und E) konstruiert. Leider ist das verwendete Zeichenprogramm (Aus Microsoft Powerpoint) nicht zu genauerer Konstruktion geeignet. Rechte Winkel habe ich daher an den drei betreffenden Stellen wie üblich markiert, obwohl sie nicht wirklich rechtwinklig erscheinen. Auch die grobe Rasterung ist ziemlich lästig und so erlaubt das Programm, "bockig wie ein Esel", die Positionierung, nur dort zu, wo es will. Auch hier ist halt wieder der gute Wille des Betrachters gefordert - etwa nach dem Motto "Geometrie ist die Kunst, aus falschen Zeichnungen richtige Schlüsse zu ziehen".

Zum Punkt D gelangen wir, indem wir in A eine Senkrechte auf der Strecke AB errichten und bis zum Schnittpunkt mit dem linken Kreis auf dieser Linie nach unten gehen. Der Schnittpunkt ist der "Cassinische Hilfspunkt" E. Es ist nun klar, dass die Linie von E nach B durch den Mittelpunkt M1 gehen muss, weil der Peripheriewinkel in A ein rechter Winkel ist und daher der zugehörige Zentriwinkel 180 ° beträgt (Thaleskreis).

Auf entsprechende Weise wird von C aus der zweite Hilfspunkt D gefunden. Die geradlinige Verbindung der Punkte C und D geht nun genau durch den Schnittpunkt der beiden Kreisbogen T, denn dieser Schnittpunkt ist ja gleichzeitig auf dem unteren Kreisbogen über dem Durchmesser EB gelegen, also steht die Verbindungsgerade von T nach B senkrecht auf der Strecke CD (Begründung wieder über den Thaleskreis).

Wir sehen also, dass die aufwendige Berechnung des Schnittpunktes der beiden Kreisbögen ersetzt werden kann durch die wesentlich einfachere Berechnung des Schnittpunktes zweier sich senkrecht schneidender Geraden. Wenn nämlich die Koordinaten der Punkte D und E bekannt sind, ist auch die Gerade durch diese Punkte in der Zweipunkte-Form darstellbar. Die zweite Gerade, die senkrecht dazu durch den Punkt B verläuft, kann wegen der Beziehung der Steigungen (m2 und m1) senkrecht aufeinander stehender Geraden : m2 = - 1/m1 leicht in der Punkt-Steigungs-Form gegeben werden. Somit ist der Punkt T als Schnittpunkt dieser beiden Geraden einfach zu berechnen.

Bevor wir diesen letzten Schritt tun können, müssen wir aber erst noch die Koordinaten der beiden Hilfspunkte D und E bestimmen. Dies geschieht unter Nutzung der Richtungswinkel wie folgt:

  1. Die Strecke s(BC) wird aus den Koordinaten der beiden Punkte über den Pythagoras-Satz und der Richtungswinkel t(BC) wird aus den gleichen Koordinaten berechnet.

  2. Aus s(BC) wird s(CD) bestimmt, wegen : s(BC)/s(CD) = tan (b),

  3. Der Richtungswinkel t(CD) = t(BC) + 100 gon, weil BC senkrecht auf CD,

  4. der y-Wert (Rechtswert) von D ist : yD = yC + s(CD) · sin(t(CD)),

  5. der x-Wert (Hochwert) von D ist : xD = xC + s(CD) · cos(t(CD)).

Entsprechend finden wir die Koordinaten des zweiten Hilfspunktes E :

  1. Die Strecke s(AB) und der Richtungswinkel t(AB) werden berechnet,
  2. Aus s(AB) wird s(AE) bestimmt, weil : s(AB)/s(AE) = tan(a),
  3. Der Richtungswinkel t(AE) = t(AB) + 100 gon, weil AB senkrecht auf AE,
  4. der y-Wert (Rechtswert) von E ist: yE = yA + s(AE) · sin(t(AE)),
  5. der x-Wert (Hochwert) von E ist: xE = xA + s(AE) · cos(t(AE)).

___________________________________________________________________________

Hier ein kleines Zahlenbeispiel :

Punkt A: y1 = 2.9; x1 = 5.9. - Punkt B: y2 = 7.1; x2 = 4.8. - Punkt C: y3 = 8.8; x3 = 4.5

Die beiden Winkel seien : a = 47 Grad; b = 25 Grad. (1 gon = 0.9 °)

Daraus folgen die berechneten Werte :

t(BC) = 111.120 gon => t(CD) = 211.120 gon

t(AB) = 116.307 gon => t(AE) = 216.307 gon

s(AB) = 4.342 (nach Pythagoras aus x1,y1 und x2,y2) => s(AE) = s(AB) / tan(a) = 4.049

s(BC) = 1.726 => s(CD) = s(BC) / tan(a) = 3.702

Die Steigung der Geraden durch E und D : mED = (x5-x4)/(y5-y4)

daraus berechnet die Steigung der Geraden durch B und T : m = -1/mED = 5.564

Die Koordinaten der beiden Hilfspunkte D und E sind:

yD= yC + s(CD)·sin(t(CD))= 0.854
xD = xC + s(CD)·cos(t(CD)) = 8.157
yE = yA + s(AE)·sin(t(AE)) = 1.874
xE = xA + s(AE)·cos(t(AE)) = 1.983

Die Zwei-Punkte-Gleichung für die Gerade zwischen D und E lautet :

(x - x5)/(y-y5) = (x5-x4)/(y5-y4) => y = (x5·x-x4·x+x5·x4)/(x5-x4)

Die Punkt-Steigungsform für die Gerade durch B und T:

x-x2 = m · (y - y1) => y = (x-x2+m · y2)/m

Gleichsetzen der beiden y-Werte führt zum x-Wert des Punktes T:

xT = ((y5·x4)/(x5-x4)-(x5·y4)/(x5-x4)-x2/m+y2) / (y5/(x5-x4)-y4/(x5-x4)-1/m)

der y-Wert von T ist dann :

yT = (xT - x2 + m*y2)/m

Das führt zu den Koordinaten von T:

yT = 6.446 und xT = 1.162

 

Weiter zur Betrachtung der Auswirkungen von Fehlern bei den Winkelmessungen.

Zurück

Letzte Aktualisierung : 09.01.2002

Letzte Layout-Kosmetik : 4.04.2003