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Eine faszinierende Methode zur Bestimmung der Gauß-Krüger-Koordinaten eines Standortes,

- ausschließlich durch Anpeilen von 3 Zielen (Winkelmessungen) und gänzlich ohne Distanzmessungen.

 

Es ist hier von einer für uns interessierte Fachfremde zweifellos verblüffenden Methode die Rede : Ich spreche vom sog.

Rückwärtseinschnitt.

Dabei steht man mit einem Theodolit auf einem Punkt T mit unbekannten Koordinaten. Um diese Koordinaten nun zu bestimmen, visiert man drei Punkte A, B und C an, deren Koordinaten man - zum Beispiel nach Rückfrage bei einem Vermessungsamt - kennt. Jetzt werden allein die beiden Winkel gemessen, unter denen vom Standort T aus 1. die Punkte A und B (Winkel a) - und 2. die Punkte B und C (Winkel b) erscheinen, d.h. man stellt fest, um welchen Winkel man das Fernrohr in der Horizontalen drehen muss, wenn man vom jeweils linken zum rechten Zielpunkt gelangen will.

Im Gegensatz zu vielerlei anderen Verfahren aus dem Bereich der Vermessungskunde ist hier also keine einzige Streckenmessung erforderlich. Dies hat uns - die Vermessungs-AG am Gymnasium Achern - fasziniert. Aber andererseits - es wird im Folgenden noch deutlich werden - ist es nicht ganz einfach, die Einzelheiten auch zu verstehen : Schauen wir halt mal !

Die erste Frage, die wir klären sollten, ist : Wo liegen die Punkte - denn es ist sicher nicht nur ein einziger Punkt - von denen aus zwei angepeilte Ziele unter demselben Winkel erscheinen ?

Der Ort all dieser Punkte ist ein Kreisbogen, der vom ersten zum zweiten Zielpunkt verläuft. Es ist aus dem Geometrie-Unterricht vielleicht noch bekannt, dass man den Winkel von einem Punkt auf diesem Kreisbogen zu den an seinen beiden Enden liegenden Zielpunkten Peripheriewinkel nennt. Zu erwähnen ist noch, dass der Mittelpunkt des Kreisbogens zusammen mit dem Bogen auf der gleichen Seite der Sehne zwischen den Endpunkten liegt. Nur für diesen Fall gilt nämlich, dass der zweite wichtige Winkel in diesem Zusammenhang, der Zentriwinkel nämlich, genau doppelt so groß ist wie der zugehörige Peripheriewinkel.

Hier ist ein kleines Filmchen zu sehen, das die Konstanz dieser Winkel demonstriert : aa01.avi . Nach dem Aufruf hier wird die Animation einfach durch Anklicken der Zeichnung gestartet.

Fassen wir also zusammen: Nach der Messung des ersten Winkels (vom Standort T zu den Punkten A und B) steht fest, dass der Theodolit auf dem zugehörigen - aber noch näher zu bestimmenden - Kreisbogen stehen muss.

Aus völlig entsprechenden Überlegungen folgt weiterhin, dass wegen des 2. Winkels (B, T, C) der Standort gleichzeitig auf einem zweiten Kreisbogen - von dessen einem Endpunkt B zum anderen C reichend - liegt. Der zweite gemessene Winkel ist also nun ein Peripheriewinkel auf diesem zweiten Bogen.

Es leuchtet nun unmittelbar ein, dass dort, wo sich die beiden Kreisbögen schneiden, der Standort T sein muss, weil nur von diesem Punkt aus gleichzeitig die beiden beobachteten Winkel zu den drei Zielen möglich sind.

So weit ist ja alles recht einleuchtend, glaube ich.

Wie findet man nun aber den Mittelpunkt M und den Radius r des gesuchten Kreisbogens ?

Zunächst muss er natürlich irgendwo auf der Mittelsenkrechten zwischen A und B liegen.

Aus den Koordinaten der Punkte A und B kann man über den Satz des Pythagoras die Entfernung d zwischen A und B berechnen, denn es gilt :

d · d = (xA-xB) · (xA-xB) + (yA-yB) · (yA-yB)

Der Radius des gesuchten Kreises ist daher :

r = (d/2) / (sin (a))

Wenn wir also um den Punkt A einen Kreis mit dem berechneten Radius r schlagen, liegt im Schnittpunkt dieses Kreises mit der Mittelsenkrechten zwischen A und B der gesuchte Kreismittelpunkt M

Nun kann vom Mittelpunkt M ein Kreisbogen mit dem Radius r von A nach B gelegt werden und es steht also fest, dass der Standort T irgendwo auf diesem Kreisbogen liegt, weil von T aus ja die beiden Ziele A und B unter dem beobachteten Winkel a erscheinen. Dies ist deswegen so, weil der Peripheriewinkel a ja gleich dem a in der obigen Skizze ist (und dort ist, wie man leicht sieht, der Winkel a ja der halbe Zentriwinkel)

Auf entsprechende Weise wird nun ein zweiter Kreisbogen durch die Endpunkte B und C konstruiert. Von diesem Bogen aus erscheinen dann die Ziele B und C unter dem zweiten gemessenen Winkel b. In der folgenden Skizze ist jetzt zu sehen, dass nur vom Schnittpunkt der beiden Kreisbögen gleichzeitig die Punkte A und B unter dem Winkel a und die Punkte B und C unter dem Winkel b erscheinen. Dieser Schnittpunkt ist also der gesuchte Standort T.

Nun ?

Etwa schon entmutigt ? ... Aber nein ! Also, weiter

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Letzte Aktualisierung : 28.5.2000

Letzte Layout-Kosmetik : 4.04.2003