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Photogrammetrie, ‹berblick

Wie gut funktioniert die rechnerische Entzerrung ?

(Weitere Gehversuche in Sachen Photogrammetrie.)

Zur Kontrolle der Entzerrung soll das rechtwinklige Dreieck auf dem Garagendach (aus den Ecken A,B und C) mit dem auf dem Foto abgreifbaren Bild dieses Dreiecks verglichen werden. Dazu wird auf dem Bild die Größe des Winkels b dadurch bestimmt, dass die Längen der drei Seiten aus den Pixelkoordinaten der drei Punkte (über den Satz des Pythagoras) bestimmt werden und dann über den Kosinussatz der Winkel berechnet wird. Hier also zunächst der Bildausschnitt :

Die Rechnungen im Einzelnen :

Zunächst die vom Foto abgegriffenen Pixelkoordinaten der drei Punkte

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,

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Die Längen der drei Seiten über den Satz des Pythagoras :

Die dem Punkt A gegenüberliegende Seite : ; Pixel

Die dem Punkt B gegenüberliegende Seite : ; Pixel

Die dem Punkt C gegenüberliegende Seite : ; Pixel

c ist die längste Seite. Jetzt wird über den Kosinussatz zunächst der Kosinus des Winkels b am Punkt B berechnet :

;

Und jetzt der zugehörige Winkel bestimmt : ;

b (Foto) = 54,94 °

Der Winkel auf dem Foto ist also deutlich kleiner als 90°, erscheint also stark "verzerrt".

Die Brauchbarkeit der rechnerischen Entzerrung soll nun so untersucht werden, dass aus den transformierten Koordinaten der drei Punkte die realen Längen der drei Seiten berechnet werden und dann wieder über den Kosinussatz der reale Winkel bei Punkt B bestimmt wird. Er müsste dann nahezu 90° betragen.

Jetzt sollen die Pixelkoordinaten für die Punkte A,B und C mittels der ebenen Projektiven Transformation in die "realen" Koordinaten (in Zentimeter) umgeformt werden. Zur Erinnerung hier die beiden Formeln für den "Rechtswert" und den "Hochwert" :

Der "Rechtswert" von Punkt A wird also so ermittelt :

RA = (0,5276 · 736 + (- 0,28402 · 570) + (-5,1691)) / (-0,000164 · 736 + 0,0008692 · 570 + 1) = 170,0 [cm]

Der "Hochwert" von Punkt A :

HA = ((-0,1474 · 736) + (-0,8508 · 570) + 817,2967) / (-0,000164 · 736 + 0,0008692 · 570 + 1) = 162,9 [cm]

Die Koordinaten für B ergeben sich entsprechend zu : RB = 281,9 und HB = 163,2

Die Koordinaten für C schließlich sind : RC = 283,5 und HC = 326,8.

Aus diesen Koordinaten liefert der Satz des Pythagoras die folgenden Seitenlängen :

a = 163,7 cm ; b = 204,7 cm ; c = 120,9 cm

Schon diese Seitenlängen können am Foto gut überprüft werden, weil ja die Längen der Plattenkanten bekannt sind, nämlich 40,3 cm (von Fugenmitte zu Fugenmitte gemessen). Die Seite c wird von den Kanten dreier Platten gebildet, ist also tatsächlich 3 · 40,3 cm = 120,9 cm lang. Die Seite a besteht aus 4 Plattenkanten, misst also 4 · 40,3 cm = 161,2 cm (hier ist also ein kleiner "Schönheitsfehler" zu beklagen). Die Seite b schließlich wird aus 5 Plattenkanten gebildet und misst demnach 5 · 40,3 cm = 201,5 cm (auch nicht ganz so schön!).

Nach dem Kosinussatz ergibt sich aus den Seitenlängen : cosinusbeta = (b · b - c · c - a · a) / (- 2 · a · c) = -0,0123

daraus resultiert der entzerrte Winkel zu

b (entzerrt) = acos(cosinusbeta) = 90,7 °

Mit diesem "rechten Winkel" und den oben bestimmten Seitenlängen als Ergebnis der rechnerischen Bildentzerrung kann man aber vielleicht dennoch zufrieden sein!

Einen gute Abschätzung der Qualität der rechnerischen Entzerrung kann auch der Blick auf die beiden Bilder vermitteln.

Sehen Sie sich also die beiden Bilder hier noch einmal an :

Zunächst das Originalfoto mit seinen "perspektivischen Verzerrungen" :

und hier das Ergebnis der Entzerrung im nachfolgenden Bildausschnitt. Dieses Bild wurde aus dem Originalfoto punktweise durch Transformation berechnet :

Diese Seite wurde erstellt am : 1.08.2002

Letzte Aktualisierung : 7.08.2002

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