Zur Leitseite
‹berblick

Rechenhilfe zur Bestimmung der acht Parameter


Ein weiteres Applet zum Thema Projektivtransformation.

Das folgende Applet bildet zunächst das linke Schachbrettmuster mit einem vorgegebenen Satz von acht Transformationsparametern auf der rechten Seite ab. Es ist nun möglich, mit der Maus an jeder der vier Ecken bei gedrückter linker Maustaste zu "ziehen" und so die Form des Bildvierecks zu verändern. Das Applet versucht nun für die neue Form die passenden acht Transformationsparameter (und zwar für die inverse Transformation, siehe hier) zu finden und damit das Schachbrettmuster in das neue Viereck hinein abzubilden. Die errechneten Parameter werden jeweils im Textfenster unter den Bildern angegeben. Der ebenfalls angezeigte Gewichtseinheitsfehler S0 sollte möglichst nahe bei 0 liegen, wenn die Parametersuche erfolgreich verlaufen ist. Statt die Ecken durch Ziehen mit der Maus vorzugeben können in den acht Textfenstern links unten auch die Koordinaten der vier Eckpunkte festgelegt werden.

Als kleine Zugabe ist es auch möglich über die Schaltfläche auf der rechten Seite noch über eine alternative Transformationsform, nämlich eine sog. "bilineare Transformation", das Schachbrettmuster in die rechte Vierecksfläche hinein abzubilden. Es ist dann gut zu erkennen, dass diese Abbildung offenbar nicht mehr geradentreu ist, denn die Reihen der diagonalen Eckpunkte der kleinen farbigen Vierecke im Bild liegen jetzt auf gekrümmten Linien. Mit der gleichen Schaltfläche kann zwischen den beiden Transformationsarten hin und hergeschaltet werden. Die Aufschrift auf der Schaltfläche zeigt jeweils an, welcher Transformationsmodus bei der nächsten Betätigung des Schalters wirksam wird.

Nun aber ist noch von einem "kleinen Problem" zu reden: Beim Spielen werden Sie zufällig, oder dann auch gezielt, Eckpunktspositionen finden, bei denen die Parametersuche nicht gelingt. Dabei sehen Sie dann an den jeweiligen großen Gewichtseinheitsfehlern (S0-Werten) und den absurd großen Parameterwerten, dass die Suche erfolglos war. Eine Abbildung unterbleibt dann jeweils.

An dieser Stelle ist also noch Nachbesserung erforderlich. Leider bin ich mit dieser Angelegenheit aber derzeit noch überfordert, denn Sie wissen ja, dass ich über die eigentlich notwendige mathematische Bildung leider nicht verfüge.

Jedoch: Es scheint geschafft! Sie können sich ja auch das zweite Applet unter dem noch ziemlich unvollkommenen der "ersten Stunde" zum Vergleich weiter unten gleich zusätzlich ansehen.

 

Hier die neuere Version:

Hier können Sie die Abbildung (Projektivtransformation) in beiden Richtungen beobachten. Die Transformation vom Original (links) zum Bild (rechts) wird mit den acht Parametern a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3 und b3 berechnet. Die Transformation von rechts nach links läuft über die acht Parameter d1, e1, f1, d2, e2, f2, d3 und e3.

Wenn Sie den Mauscursor im Originalschachbrettmuster links bewegen, zeigt Ihnen der blaue Cursor im rechten Bild die entsprechende Position an. Bei der Mauscursorbewegung im rechten Bild erscheint im Original rechts der blaue Mauscursor an der entsprechenden Stelle.

Beim Ziehen an den Eckpunkten im rechten Bild (bei gedrückter rechter Maustaste) verschieben sich diese Punkte entsprechend und es werden sogleich alle 16 Parameter für das neu geformte Viereck berechnet und im Textbereich angezeigt.

Wenn Sie die Schaltfläche auf der rechten Seite betätigen, wird das Schachbrettmuster in das gleiche Viereck hinein abgebildet, jetzt aber über eine sog. "bilineare Transformation". Es fallen sogleich auf die ganz unterschiedliche Größe der einzelnen kleinen Viereckchen im Vergleich mit dem Fall der Projektivtransformation und - teilweise erst bei genauerem Hinsehen - die jetzt verschwundene Geradentreue der bilinearen Abbildung. Natürlich sind jetzt die Entsprechungen der Positionen beider Mauszeiger (des schwarzen und des blauen) ebenfalls verschwunden, denn diese Positionen werden immer noch (zum besseren Vergleich) nach Art der Projektivtransformation berechnet..

Bei erneuter Betätigung der Schaltfläche fügt sich wieder das Bild der Projektivtransformation in den Rahmen der 4 Ecken ein.

Nun aber nicht mehr länger warten! Beginnen Sie ruhig schon mal mit dem Spielen!

Und - glauben Sie mir: Da gibt es auch interessante Grenzfälle zu entdecken!

Haben Sie schon entdeckt, unter welchen Umständen das Applet "ins Schwitzen gerät"? Können Sie diese Situationen absichtlich herbeiführen und können Sie Ihren vielleicht anwesenden Zuschauern erklären, wie das geht? Die Berechnung scheint ja an diesen besonderen Konstellationen der vier Eckpunkte keinen Anstoß zu nehmen, den entsprechenden Parametern ist eigentlich nichts anzumerken(?) - nur das Ergebnis sieht so "unmöglich" aus!

Da sollte man mal nicht ins Grübeln geraten?

Diese Seite wurde erstellt am 4.02.2005

Das 2.Applet stammt vom 9.02.2005 , zuletzt aktualisiert am 15.02.2005

Letzte Aktualisierung der Seite: 3.07.2007

.