Näherungswerte für die Kreiszahl Pi über ein Zufallsexperiment


Erläuterung

Im obigen Applet ist ein Quadrat mit einem einbeschriebenen Kreis abgebildet. Die Seiten des Quadrates sind jeweils 600 Pixel-Einheiten lang und der Kreis um den Mittelpunkt des Quadrats (also um den Schnittpunkt seiner beiden Diagonalen) hat einen Radius von 300 Pixel-Einheiten.

Die Fläche des Quadrates beträgt daher 600 * 600 = 360000 "Quadratpixel".

Die Fläche des Kreises ist kleiner und beträgt Pi * 300 * 300 = Pi * 90000 "Quadatpixel".

Das Verhältnis der Kreisfläche zur gesamten Quadratfläche beträgt zusammengefasst:

Pi * 90000 / 360000 = Pi / 4.

oder, nach Pi aufgelöst:

Pi = 4 * (Kreisfläche / Quadratfläche)

Es soll nun eine sehr große Anzahl von Punkten zufällig auf der Quadratfläche verteilt werden. Das geschieht so, dass die x- und die y-Koordinate für den nächsten Zufallspunkt jeweils im Bereich von 0 bis 600 "erwürfelt" werden und dann an der entsprechenden Stelle der Punkt in das Quadrat gesetzt wird.

Punkte, die dann in der Fläche des Kreises liegen werden rot gefärbt und die Punkte, die außerhalb des Kreises liegen, werden schwarz gezeichnet. Ob ein Zufallspunkt im Kreis liegt, wird aus seinem Abstand vom Kreismittelpunkt berechnet: Wenn sich dieser Abstand als kleiner oder gleich 300 Pixel ergibt, dann liegt der Punkt im Kreis und wird deshalb rot dargestellt. Ist sein Abstand vom Kreismittelpunkt aber größer als 300 Pixel, so wird er eben schwarz gezeichnet.

Wenn nun die Koordinatenpaare aller Punkte gut "gleichverteilt erwürfelt" sind, dann sollten die Punkte bei aller Zufälligkeit ihrer einzelnen Positionen am Ende doch im gesamten Bereich des Quadrates ungefähr in gleicher Dichte verteilt sein.

Durch Auszählen und Vergleich der Anzahlen der roten und der schwarzen Punkte sollten dann aber auch ungefähr auf die Flächengröße des Kreises (über die Zahl der roten Punkte) bzw. des gesamten Quadrates (über die Summe der roten und der schwarzen Punkte) geschlossen werden können.

Das solchermaßen geschätzte Pi ergibt sich demnach zu:

Pi ist ungefähr:

4 * (Zahl der roten Punkte) / (Summe aller roten und schwarzen Punkte)

Jetzt aber endlich zum Experiment:

In der obersten Textzeile (mit der rötlichen Hintergrundfarbe) trägt man die gewünschte Anzahl der Zufallspunkte für das Experiment ein. Nun klickt man die Schaltfläche "Neuer Start mit Zufallsfolge" an und wartet bis alle Zufallspunkte eingezeichnet sind (Sanduhr-Cursor wird wieder zum Pfeil-Cursor).

Jetzt kann man sehen, ob die oben beschriebene ordentlich gleichmäßige Punktdichte in etwa erreicht wurde. Die Ergebnisse als Zahlenwerte erscheinen bei Anklicken der Schaltfläche "Neues Ergebnis anzeigen". Das "genäherte Ergebnis für Pi" und die "Abweichung vom "wahren" Pi werden bei jedem neuen Lauf etwas anders ausfallen.

Man kann annehmen, und kann es ja experimentell überprüfen, dass die erhaltenen Näherungswerte für Pi bei größeren Anzahlen der Zufallspunkte auch "besser" werden dürften.

Es mag vielleicht auch nahe liegen, dass man mal versucht die Punkte nicht zufällig zu setzen, sondern regelmäßig und lückenlos über das gesamte Quadrat zu zeichnen. Dieser Versuch ist über das Anklicken der Schaltfläche "Start mit dichter Punktfolge" abrufbar. Jetzt werden einfach alle Punkte gesetzt, d.h. alle 600 * 600 = 360000 Punkte. Nun ergibt das Anklicken von "Neues Ergebnis anzeigen" einen Näherungswert, der aber - vielleicht zu Ihrer Überraschung - auch nicht "ganz optimal" ausfällt. Dieser Wert allerdings bleibt bei allen Versuchen mit "Start mit dichter Punktfolge" völlig gleich!

Diese Seite wurde erstellt am 21.12.2014

Letzte Aktualisierung: 28.12.2014