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"Ellipsoidisches" oder: Merkwürdige Befunde beim Betrachten eines Erdellipsoids. (Teil 9)

Suche nach Gemeinsamkeiten von Punkten einer geodätischen Linie auf einem Rotationsellipsoid.

Im Folgenden möchte ich zu weiteren Experimenten mit meinem Applet zur Berechnung der Stationen auf einer geodätischen Linie ermuntern. Die vom Applet gelieferten Koordinaten der einzelnen Punkte auf einer G.L. (geodätische Linie) und die Azimutwerte zum jeweils nächsten Zielpunkt verdienen durchaus eine genauere Betrachtung!

Ein Rotationsellipsoid ist charakterisiert durch die beiden Halbachsenlängen : Die große Halbachse a und die kleine Halbachse b.

Aus diesen beiden Größen ergibt sich das sog. "Quadrat der zweiten numerischen Exzentrizität" als

Dann sind noch zwei Formeln vorzustellen, die beide mit dem noch nicht näher dargestellten Begriff "Krümmung" zu tun haben:

1. Der sog. "Polkrümmungshalbmesser" eines Ellipsoids mit den beiden Halbachsen a und b berechnet sich zu :

2. Der sog. Querkrümmungshalbmesser (bei vorgegebener geogr. Breite B) zu

Wenn man sich nun vom oben erwähnten Applet Stationen einer G.L. ausrechnen lässt, dann sollte man sich einmal die Werte anschauen, die sich für die einzelnen Stationen folgendermaßen ergeben:

Für jede Station wird zunächst ein p berechnet, das übrigens die Bedeutung des zugehörigen Breitenkreisradius hat. Die Breitenwerte wurden der 2. Spalte des Ergebnisses vom Applet entnommen.:

p = N · cos (B)

Wenn man nun diese p-Werte mit den zugehörigen Sinuswerten der Azimute - das sind die Werte der vierten Spalte, um jeweils 180 ° vergrößert und danach ggf. - wenn nämlich die resultierenden Werte größer als 360 ° werden - nochmal um 360 ° vermindert, multiplizert, entstehen für jede Station h-Werte nach der Formel:

h = p · sin(Azimut)

Hier die Ergebnisse für ein Ellipsoid mit a = 6000 km und b = 4000 km. Die Startposition lag bei 0° nördl. Breite (Äquator) und 0° östl. Länge (Meridian von Greenwich) und das Startazimut war mit 70 ° (gegen die Nordrichtung nach Osten) vorgegeben. Für einige willkürlich aus der Reihe von 50 Stationen herausgegriffene Breite-Azimut-Wertepaare ergaben sich die folgenden h-Werte :

5638155.724708
5638155.724704
5638155.724712
5638155.724717
5638155.724722
5638155.724699
5638155.724703
5638155.724722

Erstaunlich! - Finden Sie nicht auch?

Zum Vergleich wurde eine zweite G.L berechnet, mit gleichem Startpunkt, aber dem Startazimut von 30 ° :

3000000.00003
3000000.00005

2999999.99996

3000000.00004
2999999.99998
3000000.00000
2999999.99997
3000000.00003

Wie man an diesen Ergebnissen sehen kann, gibt es für - seien wir mal kühn und verallgemeinern - die Punkte einer G.L. eine gemeinsame Größe, die für die jeweilige G.L. charakteristisch ist und bei den Werten, die das Applet berechnet hat beeindruckend konstant ist. Diese Konstante heißt "Clairaut-Konstante".

Bei den Werten für das Startazimut (am Äquator) von 30 ° fällt auf, dass die Konstante gerade halb so groß ist wie die große Halbachse des Ellipsoids. Der Sinus von 30 ° ist aber 0.5 und das "riecht stark" nach dem möglichen Zusammenhang, dass der Sinuswert des Äquatorazimuts multipliziert mit der Länge der großen Halbachse gerade die entsprechende Clairaut-Konstante ergibt. Die Überprüfung am oberen Beispiel bestätigt die Vermutung.

Sie erinnern sich ja an die Formel oben, die sogar noch einen allgemeineren Zusammenhang mit dem Radius des Breitenkreises herstellte (h = p · sin(Azimut)). Der Wert von p ist dabei ja von der jeweiligen Breite abhängig und mit Azimut ist der Azimutwert bei eben dieser Breite gemeint. Da p die Bedeutung des Radius des entsprechenden Breitenkreises hat, ist dieser am Äquator gleich a und unsere Vermutung steht im Einklang mit der Aussage :

h = a · sin(Äquatorazimut).

Im Anklang an Formulierungen, wie ich sie im Mathematikunterricht meiner Schule gelernt habe, könnte man also vielleicht so formulieren:

Eine geodätische Linie auf einem Rotationsellipsoid ist der Ort aller Punkte mit der gleichen Clairaut-Konstante.

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Diese Seite wurde erstellt am 17.02.2004

Letzte Aktualisierung: 20.02.2004