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"Ellipsoidisches" oder: Merkwürdige Befunde beim Betrachten eines Erdellipsoids. (Teil 7)

Die erste geodätische Hauptaufgabe erlaubt es, eine Folge von Punkten auf der Oberfläche eines Ellipsoids zu berechnen, die auf einer gemeinsamen geodätischen Linie liegen. Inzwischen habe ich durch den experimentellen Umgang mit der ersten Hauptaufgabe gelernt, dass der Begriff "Geodätische Linie" (ab hier wähle ich die Abkürzung G.L.) umfassender zu verstehen ist, als ich bislang dachte. Man kann nämlich als Vorgabe für den Weg sehr lange Strecken wählen und erhält immer die Koordinaten entsprechender Zielpunkte zurück, die dann zwar am Ende einer Strecke auf der G. L. liegen, aber nicht mehr die kürzeste Verbindung zwischen dem Ausgangspunkt und diesem Endpunkt darstellen. Man kann die vorgegebene Strecke auch so lang wählen, dass sie das Ellipsoid mehrfach "umwickelt". Trotzdem liegen dann alle Zwischenpunkte immer noch auf einer gemeinsamen G.L. , deren wesentliches Merkmal wohl gewisse Krümmungseigenschaften ausmachen, die ich aber bei weitem noch nicht verstehe.

Ich muss also meine bisherige Auffassung von "der Geodätischen Linie" präzisieren und kann so formulieren: Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Oberflächenpunkten auf einem Rotationsellipsoid ist immer ein Teilstück einer G.L., aber nicht die G.L selbst. Es scheint mir, dass eine G.L. unendlich lang sein könnte. Interessant könnte die Frage sein, ob G.L geschlossene Linien sind. Mein nächstes Ziel ist also, dieser Frage mit Hilfe der ersten Hauptaufgabe "experimentell" nachzugehen.

Bei meinen eigenen Versuchen zur Programmierung der ersten Hauptaufgabe musste ich leider feststellen, dass ich immer wieder auf neue Sonderfälle stieß, die jeweils getrennte Verarbeitungswege erforderten. Ich konnte mir nie sicher sein, an alles gedacht zu haben. Da erwies sich die Kontrolle über das Einzeichnen der jeweiligen Punktfolgen auf längeren Linienabschnitten in einer Grafik als sehr hilfreich. Hier konnte man dann sehen, wo die G.L. einen Knick hatte, oder streckenweise "in sich selbst zurücklief". Zu meinem Trost konnte ich dabei auch feststellen, dass ich mit meinen Schwierigkeiten nicht alleine dastand. Wenn ich nämlich zur Kontrolle die Koordinaten der Zielpunkte von Programmen aus dem Internet nachrechnen ließ, zeigten sich auch dort solche Unstetigkeiten im Linienverlauf. Hier stellvertretend zwei Beispiele:

Zwei Fehler:
1. Knick im Verlauf,
2. "Umkehr in sich selbst" im letzten Abschnitt.

Ein Fehler:
Umkehr der G.L. "in sich selbst" im hinteren Abschnitt.

 

Kurzanweisung:

  • Drehen durch "Ziehen" mit der Maus bei gedrückter linker Maustaste.
  • Größe verändern durch Ziehen mit der Maus bei gedrückter linker Maustaste - dabei die "s"-Taste drücken.
  • Verschieben durch Ziehen mit der Maus bei gedrückter linker Maustaste - dabei die "t"-Taste drücken.
  • Fortgesetztes Drehen in Wunschrichtung: Taste "q", dann um kleinen Betrag in Wunschrichtung drehen, dann ""w"-Taste. Stop mit "q".
  • Shift-x blendet Koordinatenachsen ein/aus
  • Mut zum Experimentieren mit weiteren Shift-Kombinationen! ... z.B. Shift - j, Shift - b, Shift - f .. usw.

 

Auf dieser Abbildung ist eine Folge einzelner Punkte einer G.L. eingezeichnet. Der Startpunkt hat die Koordinaten: 20° südliche Breite, 0° östliche Länge. Es ist das Internationale Ellipsoid zu Grunde gelegt (a = 6378388 m, b = 6356911,946 m). Die Startrichtung der von hier ausgehenden G.L. hat einen Winkel von 63° 39' 35,1533" östlicher als die Nordrichtung (Azimut). Zwischen den einzelnen roten Punkten liegt jeweils eine Strecke von 400 km. Die Linie ist aus 400 Stationen gebildet, d.h. die Gesamtlänge beträgt 160000 km, was also für ca. vier Umrundungen des Erdellipsoids ausreicht. Offensichtlich ist jetzt der gesamte Verlauf ohne auffallende Fehler.

Falls Sie Lust zu eigenen Experimenten haben, ist hier ein Applet bereitgestellt, das Ihnen Zwischenstationen auf geodätischen Linien berechnet. Dazu wählen Sie einen Ellipsoidtyp - oder geben ein selbst definiertes Ellipsoid durch seine beiden Halbachsenlängen vor. Dann legen Sie die Koordinaten des Startpunktes fest, geben eine Richtung (Azimutwinkel) vor und wählen die Gesamtlänge der Linie und die Anzahl der Zwischenstationen, die berechnet werden sollen. Neuerdings berechnet das Applet auch eine Grafikdatei zur Betrachtung und Manipulation des Ellipsoids samt der eingezeichneten G.L. mit dem genialen Programm JavaView.

Die Grafik lässt auch erkennen, dass die G.L. zumindest in diesem Falle keine geschlossene Linie ist, aber sehen Sie selbst!. Dazu muss man allerdings stark vergrößern (durch Ziehen mit der Maus bei gedrückter linker Maustaste und gedrückter "s"-Taste der Tastatur). Die einzelnen Windungen der Linie liegen zwar sehr nahe beieinander, aber sie fallen nicht zusammen - die Linie ist also nicht geschlossen! Damit steht dann auch fest, dass die Punkte der Linie nicht auf einer gemeinsamen Ebene liegen.

Eine weitere Vermutung drängt sich hier auf: Vielleicht würde die G.L. dann zur geschlossenen Linie, wenn man die beiden Halbachsen gleich lang machte, wenn das Ellipsoid also zur Kugel "degenerierte"? Umgekehrt ist vielleicht damit zu rechnen, dass die einzelnen Windungen noch deutlicher "auseinander rücken", wenn der Unterschied der beiden Halbachsen vergrößert würde. Grund genug also zu weiterem Experimentieren!

Und siehe da:

Dieses Ellipsoid ist nun wahrlich "stark abgeplattet": Die Halbachsenlängen sind stark unterschiedlich: a = 6000000 m b = 4000000 m. Die Koordinaten des Startpunktes und das Startazimut sind hier gleich wie oben. Auch hier sind die Stationen 400 km auseinander. Die G.L. ist nun ganz offensichtlich keine geschlossene Linie mehr und von einer allen Punkten gemeinsamen Ebene kann wahrlich keine Rede mehr sein!

Wie oben schon vermutet, ist bei einem zur Kugel degenerierten Ellipsoid die G.L. geschlossen. Im folgenden Bild ist a = b = r = 6000000 m gewählt, die sonstigen Vorgaben sind unverändert. Auch nach reichlichem Vergrößern erscheint die Linie immer geschlossen. Alle Punkte liegen jetzt in einer gemeinsamen Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt.

Erstellt am 7.02.2004

Zuletzt aktualisiert am 10.02.2004

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