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"Ellipsoidisches" oder: Merkwürdige Befunde beim Betrachten eines Erdellipsoids. (Teil 5)

Auch ein nur spielerischer Umgang mit einem Ellipsoidmodell kann durchaus noch mehr Überraschendes erbringen. So liegen etwa Betrachtungen zur Weglänge zwischen Punkten auf dem Äquator (des betrachteten Ellipsoids) deshalb recht nahe, weil sich diese Weglängen besonders leicht nachrechnen lassen. Die Äquatorlinie ist nämlich ein Kreis mit dem Radius der großen Halbachse des Ellipsoids [R = a(Ellipsoid)], für das Internationale Ellipsoid also R = a = 6378388 m. Die Entfernung zweier Punkte auf diesem Äquatorkreis ist also bei gegebener Differenz der beiden Längengrade (DeltaL = L2 - L1, gemessen in Winkelgrad) durch folgende Formel leicht berechenbar:

S = DeltaL · Pi ·R / 180 °

Beispiel : Die beiden Punkte auf dem Äquator (Breite für beide Punkte also 0 °) auf den Längen L1 = 10 ° und L2 = 150° liegen um die Differenz DeltaL = 150° - 10° = 140° auseinander. Die kürzeste Strecke zwischen ihnen (auf der Äquatorlinie) beträgt also:

S1 = 140° · Pi · 6378388 m / 180 ° = 15585342,02 m.

Nehmen wir einmal an, dass dieser Wert die kürzeste Entfernung der beiden Punkte auf dem Internationalen Ellipsoid richtig wiedergibt, denn ein Abweichen von dieser Äquatorlinie wäre ja wohl - soviel scheint vielleicht unmittelbar einleuchtend - "ein Umweg".

Nehmen wir jetzt einmal die größtmögliche Differenz der Längengrade zwischen zwei Äquatorpunkten und damit die größtmögliche Entfernung zweier Äquatorpunkte voneinander, also 180°. Jetzt beträgt die Entfernung zwischen diesen beiden einander auf dem Äquator gegenüberliegenden Punkten P1 und P2 (gemessen auf der Äquatorlinie) :

S2 = 180 ° · Pi · 6378388 m / 180 ° = 20038296,89 m.

Versuchsweise können wir auch den Weg zwischen den beiden Punkten berechnen, wenn man sie auf einem Meridian, also über den Pol hinweg miteinander verbindet. Diese Länge setzt sich aus Gründen der Achsensymmetrie einer ebenen Meridianbogenschnittfigur (Ellipse) aus zweimal der Meridianbogenlänge vom Äquator bis zum Pol zusammen. Die Aufgabe kann über das Applet im Teil 1 dieser Folge berechnet werden, wenn man als Ellipsoid das Internationale einstellt und die Breite des Startpunktes B1 = 0 ° (auf dem Äquator) und als Breite des Zielpunktes B2 = 90 ° (Breite des Nordpols) vorgibt, liefert das Applet die Länge des Weges auf einem Meridian vom Äquator zum Pol mit S3 = 10002288,30 m. Der zweite Teil des Gesamtweges - "auf der anderen Seite" wieder hinunter zum Äquator ist gleich lang. So erhalten wir die Gesamtstrecke über den Pol zu

S = 2 · S3 = 20004576,60 m.

Und was sehen wir? - Offensichtlich ist der Weg von P1 nach P2 über den Pol immerhin um 33720,29 m kürzer als auf der Äquatorlinie!

Ich gestehe gern, dass mich das zunächst überraschte! Außerdem kann man feststellen, dass der Weg von P1 nach P2 über beide Pole gleich lang ist. Sollte dies tatsächlich der kürzeste Weg sein, müsste man zur Kenntnis nehmen, dass hier die geodätische Linie nicht mehr eindeutig verläuft sondern dass es zwei solche Linien gibt.

Sind nun vielleicht immer die Wege zwischen zwei Äquatorpunkten über den Pol kürzer als auf der Äquatorlinie? Das ist offensichtlich unrichtig - man nehme zur Veranschaulichung einmal zwei Äquatorpunkte mit nur 1 ° Längendifferenz. Hier "muss" der Weg über den Pol - er betrüge ja wieder 20004,576 km, gegenüber einem Äquatorweg von 20038,297km / 180 = 111,324 km - ein gewaltiger Umweg sein!

Interessant wäre zu erfahren, wie weit (Längendifferenz) zwei Äquatorpunkte auseinander liegen müssen, bis der Weg über den Pol näher wird als die kürzere der beiden Strecken auf der Äquatorlinie. Es wäre ja auch denkbar, dass bei solchen Äquatorpunkten - sie müssten wahrscheinlich "ziemlich diametral" liegen - die geodätische Linie (also die kürzeste Wegstrecke auf der Ellipsoidoberfläche) zwar nicht auf dem Äquator verlaufen, aber auch nicht unbedingt über den Pol führen müsste.

Da der Äquatorweg proportional zur Längendifferenz (DeltaL) ist, kann man zumindest sagen, ab welchem DeltaL der "Polweg" zwischen zwei Äquatorpunkten kürzer ist - ohne dass dies freilich der kürzest mögliche Weg zu sein braucht. Wegen der oben erwähnten Proportionalität gilt, dass ab einer Längendifferenz von

DeltaL = 20004576,60/20038296,89 · 180 ° = 179,697097 ° der Weg über den Pol kürzer ist,

aber sehr wahrscheinlich immer noch ein Umweg ist. Zumindest für Äquatorpunkte mit einer größeren Längendifferenz als 179,697097 ° verläuft also die geodätische Linie nicht entlang der Äquatorlinie.

Ich nehme an, dass die geodätische Linie zwischen Äquatorpunkten sich in diesem Bereich immer mehr vom Äquator nordwärts - und symmetrisch dazu eine zweite gleich lange Linie südwärts - entfernt und schließlich bei einer Längendifferenz von 180 ° wirklich über den Nordpol führt und die zweite über den Südpol.

Mit diesen Überlegungen wird bei mir der Wunsch nach einem "rundum" funktionierenden Programm für die zweite geodätische Hauptaufgabe immer dringlicher, zumal ja genau bei diesen interessanten Grenzfällen mein bisheriges Applet versagt. Vielleicht finde ich ja doch noch irgendwo eine bessere Rezeptur, es würde mich freuen!

Erstellt am 28.12.2003

Zuletzt aktualisiert am 29.12.2003

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