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"Ellipsoidisches" oder: Merkwürdige Befunde beim Betrachten eines Erdellipsoids.

Ein Rotationsellipsoid als Modell für die "abgeplattete" Erde

Meine Bemerkungen zu den Gauß-Krüger-Koordinaten veranlassen manche Leser zu genauerem Hinsehen. Wenn sie mir dann darüber berichten, macht mich dies gelegentlich auch selbst unsicher. Ich frage mich dann, warum mir die angesprochenen Widersprüchlichkeiten nicht schon selbst aufgefallen sind und ich versuche aufkommenden Zweifeln mit etwas weniger Oberflächlichkeit und etwas genauerem Nachdenken zu begegnen.

Ein schönes Beispiel: Beim sog. Meridianstreifenwechsel fiel einem nachdenklichen Mitmenschen auf, dass sich nicht nur die Rechtswerte eines Standortes durch den Neubezug auf einen Nachbarmeridian in erwarteter Weise verändern sondern auch die Hochwerte. Das hatte ich natürlich auch bemerkt, aber leider nie Anlass gesehen, daran den eigentlich gebotenen Anstoß zu nehmen.

Wie aber nun, wenn man sich der vielfach zu lesenden Erklärung des Hochwertes erinnert und daher zu wissen glaubt, dass der Hochwert eines Standortes seinen Abstand vom Äquator angibt? Der sich beim Bezug auf den nächsten Nachbarmeridian ergebende neue Hochwert für dieselbe Position würde ja dann bedeuten, dass der gleiche Standort nun plötzlich einen anderen Abstand vom Äquator hätte als vorher. Da konnte doch etwas nicht stimmen!

Ich kann nicht verhehlen, dass ich mich wieder mal bei einer gewissen Oberflächlichkeit ertappt fühlte!

Was heißt also nun "Abstand vom Äquator"? Falls man sich die Erdgestalt angenähert als Kugel vorstellt, wäre dies die auf einem Großkreis liegende kürzest mögliche Strecke vom Standort zum Äquator.

Jetzt sollte ich noch verdeutlichen, was ich mit Großkreis meine: Großkreise sind die Schnittlinien (Schnittfiguren) die auf einer Kugeloberfläche entstehen, wenn die Kugel von durch den Kugelmittelpunkt gehenden Ebenen geschnitten wird. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche liegt immer auf dem Großkreis der Schnittebene durch die beiden Punkte und den Kugelmittelpunkt. Diese so genannte Großkreisentfernung zweier Punkte auf der Kugeloberfläche wird über eine etwas umständliche Formel berechnet. Sie benötigt die Längen- und "Breiten"-grade beider Punkte sowie den Kugelradius.

Wenn man also den Äquatorabstand eines Punktes P auf der Kugeloberfläche bestimmen will braucht man demnach die Großkreisentfernung des Punktes vom "entsprechenden" Äquatorpunkt. Es ist auch unmittelbar anschaulich, was "entsprechend" in diesem Falle heißen muss: Der "entsprechende" Äquatorpunkt muss auf dem gleichen Längengrad liegen wie der Punkt P.

Über diese Erkenntnis aber vereinfacht sich die Rechenprozedur erheblich: Der Gesamtkreis, auf dem der Punkt P1 und sein entsprechender Äquatorpunkt liegen hat den Umfang von 2 · p · R = 40030.36 km. Der Teilbogen vom Äquator bis P1 hätte dann für eine gegebene "Breite" von Br ° gerade noch dem Anteil Br/360° dieses Erdumfangs. Demnach betrüge ganz allgemein für Orte auf dem 50. "Breiten"-grad der Äquatorabstand 40030.36 km · 50° / 360 ° = 5559.77 km.

Auch wenn man die Erdoberfläche durch ein Rotationsellipsoid als Näherungsfigur beschreibt, sollte es einen kürzesten Weg von einem Punkt P der Ellipsoidoberfläche zum Äquator geben. Die entsprechende Schnittfigur des Ellipsoids mit einer Ebene durch die beiden Pole und den Oberflächenpunkt wäre jetzt eine Ellipse und der gesuchte "Abstand" wäre die Bogenlänge auf dieser Ellipse vom Äquator bis zum Standort P. Diese Länge wird als "Meridianbogenlänge" bezeichnet und ist über eine komplizierte Näherungsformel berechenbar. Nicht zu übersehen ist jedoch, dass die geografische Breite auf einem Ellipsoid anders definiert ist als auf einer Kugel. Wer also die oben genannte Breite von Br° mit der geografischen (einer ellipsoidisch definierten) Breite gleichsetzen wollte, beginge einen Fehler. Deswegen habe ich oben den Begriff Breite auch in Klammern gesetzt! Wer den Meridianbogenabstand für Orte der (geografischen) Breite von B° bestimmen möchte kann dies mit dem hier eingebauten Miniapplet tun. Wenn Sie den hier mal für den ersten Punkt P1 vorgegebenen Wert von B1 = 53,1234567° ändern wollen, dann lässt sich dieser Vorgabewert auch editieren. Die Meridianbogenlänge erhalten Sie, wenn Sie die Breite für P2, B2 = 0° setzen. Die im Hintergrund wirkende Umrechnungsformel enthält als Parameter nur die beiden Halbachsenlängen a und b, die man durch Wahl des entsprechenden Ellipsoids zuweist. Damit ist dann auch klar, dass die Meridianbogenlänge, also der ellipsoidische Äquatorabstand nicht von der geografischen Länge abhängt und für alle Orte auf dem gleichen Breitenkreis gleich ist.

Neuerdings kann ich auf mein Applet verweisen, das die drei Varianten des Begriffes "Breite" auf einem Ellipsoid aufzeigt und zum Beobachten der Veränderungen beim Spielen mit zwei Schiebereglern einlädt.

Allgemein lässt sich auch der Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten P1 und P2 auf dem gleichen Meridian berechnen, wenn für beide die jeweilige Breite eingetragen wird. Die Lage auf gemeinsamem Meridian wird dabei stillschweigend unterstellt.

Man erkennt also beim Spielen mit dem Applet leicht, dass auf einem Bessel-Ellipsoid alle Punkte auf dem geografischen Breitenkreis von 50° den gleichen Abstand von

5540,27954 km

zum Äquator haben.

Mit dieser Information können wir uns nach hier zu anschließenden Überlegungen auf den Weg machen.

Eine Bemerkung sei noch angefügt: Falls der Weg auf dem Meridian von P1 nach P2 über den Pol hinweggehen soll, würde man ein Zweischrittverfahren anwenden. Der erste Teil des Weges würde im Applet so berechnet, dass man P1 mit 90° und P2 mit der Breite des Startpunktes belegt und sich dann die erste Teilstrecke notiert, die das Applet bei Betätigen der grünen Schaltfläche ausgibt. Der fehlende zweite Teil der Gesamtstrecke würde nach Eingabe von P1 = 90° und P2 = Breite des Zielpunktes gleichermaßen berechnet und notiert. Die interessierende Meridianbogenlänge wäre dann die Summe aus den beiden Teilstrecken.

Erstellt am 27.11.2003

Zuletzt aktualisiert am 20.02.2004 (Text),  9.12.2003 (Applet)

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