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Bemühungen um Astronomie,  ein Bericht in Fortsetzungen - Teil  12

Die Fortsetzungen (Teil 10 - Teil 13) befassen sich mit dem Prinzip der "Astronavigation", also der Standortbestimmung aus Messungen am Sternhimmel. Mit Freude kann ich ein entsprechendes Applet anbieten, mit dem das Vorgehen dabei als Simulation nachgespielt werden kann

Meine Bemühungen gelten also heute der konkreten Durchführung einer Ortsbestimmung mit Hilfe der Zenitwinkel von 2 Sternen. Da immer noch Wolken die Sterne verdecken, verwende ich für meine Rechnung einfach simulierte "Messdaten". Dazu bediene ich mich gern des Programms Guide 6.0, das ich mir bei astro-shop im Planetarium Hamburg besorgt habe. Ich wähle zwei Zeiten, die  5 Minuten auseinanderliegen, so wie man es für die beiden Beobachtungen etwa brauchen würde. Sagen wir also es sei der 10.7.1998 und die erste Sternhöhe sei um t1 = 23:10:00 Uhr MESZ (Mitteleuropäische Sommerzeit) ausgeführt worden. Es wurde die Vega in einer Höhe von 69,420° "gefunden". Fünf Minuten später, also um t2 = 23:15:00 wurde Alphekka mit einer Höhe von 62,370° über dem Horizont "gemessen".

Die beiden Zenitwinkel berechne ich nach der Beziehung: Zenitwinkel = 90° - Höhenwinkel, also :   z(Vega,23:10:00) = 20,580° ,       z(Alphekka,23:15:00) = 27,630°.

Wo liegen nun die Fußpunkte der beiden Sterne zu ihren jeweiligen Beobachtungszeiten ? Mit meinem Progrämmchen "GAST.PAS" ermittle ich die beiden GAST-Zeiten und erhalte : GAST(Vega) = 16,4057182 h  und GAST(Alphekka) = 16,4892797 h
Die Sternkoordinaten : Vega,        RA1 = 18h 36m 53,329s,  DEC1 = +38° 47' 22,37", Alphekka, RA2 = 15h 34m 36,158s , DEC2 = +26° 43' 33,37"

Die Vega stand also um 23:10:00 Uhr über dem Fußpunkt 1 mit den Koordinaten : 279,2222042° - 246,0857730° = 33,136431° östl. Länge und gemäß ihrer Deklination auf 38,7895472° nördlicher Breite. Dies wäre in der Gegend des Tuzgölü-Sees in Mittelanatolien. Tuzgölü heißt Salzsee, vielleicht enthält er wirklich Salz ?
Alphekka befand sich dagegen um 23:15:00 Uhr über dem Fußpunkt 2 : 233,6506583° - 247,3391955° = - 13,6885372° w. Länge und 26,7260167° nördl. Breite. Diese Stelle liegt im äußersten Westen der Sahara etwas südlicher als die Kanaren.

Jetzt zu den Abständen. Um sie aus den Koordinaten berechnen zu können müsste ich auch die Koordinaten meines Standortes kennen, aber diese will ich ja gerade erst bestimmen ! Allerdings weiß ich, dass ich wegen der Zenitdistanz vom Fußpunkt 1 den folgenden Abstand habe (die Erde wird dabei genähert als Kugel betrachtet): Erdumfang · 20,580°/360°. Der Erdumfang bei einem mittleren Radius von R = 6371,03 km beträgt: 2 · R · p  = 40030,4 km. Daher bin ich mit meinem Standort also 40030,4 km · 20,580/360 = 2288,4 km vom Vega-Fußpunkt in der Türkei entfernt. Der entsprechende Abstand vom anderen Fußpunkt in der West-Sahara beträgt entsprechend : 40030,4 km · 27,630/360 = 3072,3 km.

Meine weitere Strategie sieht nun so aus: Ich nehme zunächst geschätzte (Die Seeleute sagen meines Wissens "gegisste", vom englischen "to guess" = schätzen) Koordinaten an. In meinem Fall sei dies B(giss) = 49° nördl. Breite und L(giss) = 8° östl. Länge. Jetzt berechne ich den Großkreisabstand dieses geschätzten Punktes vom Fußpunkt 1 und vergleiche mit dem obigen "wahren" Abstand. Falls er zu groß ist, rücke ich mit meiner Schätzung auf der Verbindungslinie die entsprechende Strecke näher an den Fußpunkt 1 heran. Mit dem 2. Fußpunkt verfahre ich gleichermaßen und erhalte dabei eine Verbesserung meiner Schätzung in die 2. Richtung. Wenn ich beide Korrekturen an meinem bisher geschätzten Standort anbringe, kann ich hoffen, einen verbesserten Schätzwert gefunden zu haben.
 
Die Abstände zu den beiden Fußpunkten berechne ich als Großkreisentfernungen auf einer Kugel zu :
                          d = R · acos(sin(Breite 1) · sin(Breite 2) + cos (Breite 1) · cos (Breite 2) · cos (Länge 1 - Länge 2))     
Am Beispiel des Fußpunkt 1: e1 = 40030,4 km · acos(sin(38,78955°) · sin(49°) + cos(38,78955°) · cos(49°) · cos(33,13643° - 8°)/360 = 2296,47 km Der Unterschied zum "wahren Abstand" beträgt also d1 = 2296,47 - 2288,4 = 8,07 km. Um diese Strecke müsste ich also auf dem richtigen Kurs näher an den Fußpunkt 1 heranrücken, wenn ich auf den Kreis 1 kommen wollte, der den Fußpunkt mit einem sphärischen Radius von 20,581° umgibt. Den Kurs von meiner geschätzten Position zum Fußpunkt 1 berechne ich folgendermaßen : ee = acos(sin(38,78955°) · sin(49°) + cos(38,78955°) · cos(49°) · cos(33,13643° - 8°) = 20,653° k = asin((sin(33,13643° - 8°)·cos(38,78955°) )/(sin(ee))) = 69,840°

Der Kurs zum Fußpunkt 1 beträgt jetzt, weil die Breite des geschätzten Standortes größer ist als die des Fußpunktes 1 nicht k° sondern 180° - k°, also Kurs1 = 110,16°.

Die entsprechenden Rechnungen zum Fußpunkt 2 ergeben :

d2 = 3100,58 km - 3072,3 km = 28,28 km  und der Kurs2 = -44,89°. Man sieht also, dass die Entfernung vom geschätzten Punkt zum Fußpunkt 2 zu groß ist. Wenn wir also zum Kreis kommen wollen, müssen wir uns auch hier zum Fußpunkt 2 hin bewegen und dies entsprechend den Überlegungen von oben mit einem Kurs2 = 180° - (-44,89°) = 224,89°.

Die Koordinaten die erreicht werden, wenn man vom geschätzten Ort auf den Kreis um den Vega-Fußpunkt um d1 mit der Richtung 110,16° vorrückt sind :
    Länge1 = L1 = L(giss) + d1 · sin (Kurs1)/cos(B(giss)) = 8° + 360° · 8,07 km / 40030,4 km · 0,9387/0,65606 = 8,104°
    Breite1 = B1 = B(giss) + d1 · cos(Kurs1) = 49 + 360° · 8,07 km / 40030,4 km · (- 0,3446429) = 48,975°

Wenn wir entsprechend vom geschätzten Standort auf den Kreis um den Alphekka-Fußpunkt vorrücken, erreichen wir die Koordinaten :
    Länge2 = L2 = L(giss) + d2 · sin(Kurs2)/cos(B(giss)) = 7,7271°
    Breite2 = B2 = B(giss) + d2 · cos(Kurs2) = 48,8203°

Jetzt wollen wir den nächstgelegenen Schnittpunkt beider Kreise bestimmen, denn seine Koordinaten sind die gesuchte Länge und Breite unseres Standortes. Leider ist die Berechnung des Schnittpunktes unserer beiden Kreise aber nicht so einfach. Wenn wir uns jedoch klarmachen, dass die Krümmung beider Kreise wegen ihres sehr großen Radius sicher sehr klein ist, dann scheint es erlaubt, die Kreise näherungsweise als Geraden aufzufassen. Die Geraden gehen dann durch die eben berechneten Kreispunkte und haben die gleiche Richtung wie die Kreise, denn sie sind ja Kreistangenten an diesen Stellen. Zur Berechnung des Schnittpunktes beider Tangenten brauchen wir ihre Steigungen. Die Tangenten stehen senkrecht auf den Richtungen zu den beiden Fußpunkten, also den von uns Kurs1 und Kurs2 genannten Richtungswinkeln. Daher betragen die Azimute der Tangenten 1 und 2: Kurs1 + 90°, bzw. Kurs2 + 90°. Den Zusammenhang der Tangentenanstiege mit diesen Azimuten habe ich mir durch eine Skizze verdeutlicht :     

 

 

Der Azimut wird im Uhrzeigersinn gemessen, der Winkel zur x-Achse aber im Gegensinn zum Uhrzeiger. Der Winkel zur x-Achse (Wx) ergibt sich, wie man an der Skizze verfolgen kann, aus dem Azimut (Az) auf folgende Weise: Wx = 360° - Az + 90° = 450° - Az wenn(Wx>360°), dann Wx = Wx - 360° Jetzt wird der Steigungswinkel alfa berechnet. Dieser ist, je nach dem Kreisviertel (Quadrant) des Wx-Wertes nach verschiedenen Vorschriften zu bilden.:
                                                 Erster Quadrant  : Wenn Wx<=90°, dann alfa=Wx
                                                 Zweiter Quadrant: Wenn (Wx>90° und Wx<=180°), dann alfa = - (180° - Wx)
                                                 Dritter Quadrant  : Wenn (Wx>180° und Wx<=270°), dann alfa = (Wx - 180°)
                                                 Vierter Quadrant : Wenn (Wx>270°), dann alfa = - (360° - Wx)

Wx1 = 110,16° + 90° = 110,16°. Wx2 = 224,89° + 90° = 314,89°. alfa1 = - (180° - Wx1) = 20,16°. alfa2 = - (360° - Wx2) = - 45,11°.
Wenn jetzt die Steigungen berechnet werden sollen, dann muss zum Ausgleich der unterschiedlichen Maßstäbe von x- und y-Achse (der Abstand zweier benachbarter Längengrade ist kleiner als der Abstand zwischen zwei benachbarten Breitengraden) noch mit dem Faktor cos(Breite) multipliziert werden. So ergeben sich die beiden Steigungen zu:
m1 = cos(B1)/tan(alfa1) = 1,7879  und  m2 = cos(B2)/tan(alfa2) = - 0,6559.

Die beiden Tangentengleichungen lauten somit :

y1 (x) = B1 + m1 · (x - L1)   und   y2 (x) = B2 + m1 · (x - L2). Für den x-Wert des Schnittpunktes muss also gelten : xS = (-B1 + m1·L1 + B2 - m2·L2)/(m1 - m2) = 7,939° östl. Länge yS = y1 (xS) = B1 + m1 · (xS - L1) = 48,681° nördl. Breite

Damit ist die Aufgabe gelöst. Es zeigt sich, dass die Ablage des so berechneten Standortes vom Sollwert (48,6733°N und 7,9421°O) nur ca. 880 m beträgt. Nicht sehr beeindruckend, wenn man GPS-verwöhnt ist, aber immerhin: Die Verbesserung gegenüber der Schätzung (49° N und 8° O, Ablage: 36600 m) ist deutlich !

Mit großer Ungeduld wartete ich die letzten Tage darauf, endlich wieder einen unbewölkten Nachthimmel zu haben. Ich wollte doch ausprobieren, wie es mit gemessenen Höhen funktioniert. Gestern endlich war es so weit: Ich maß zu 2 verschiedenen Zeiten die Höhen von drei, bzw. von 4 Sternen und erhielt aus den gemittelten Werten Abweichungen von 236 m und - um nicht zu euphorisch zu werden - von 2760 m.

Statt mehrere Sterne ungefähr gleichzeitig zu beobachten, kann auch eine Positionsbestimmung gewonnen werden, indem man die Höhen des gleichen Sterns zu verschiedenen Zeiten beobachtet. Aus Höhen-Aufzeichnungen vom 2.6.1998, wo ich den Gang der Venus bei Tage über insgesamt  5,5 Stunden verfolgt habe, berechnete ich eine weitere Position  und der dabei gefundene Standort lag 728 m von der Sollposition ab. Die Koordinaten (Rektaszension und Deklination) der Venus sind allerdings nicht konstant wie bei den Fixsternen. Die Venus als Planet verändert ihre Koordinatenwerte schon innerhalb weniger Stunden merklich. Diese Rechnung kann ich allerdings mit eigenen Mitteln noch nicht bewerkstelligen. Hier griff ich daher gern auf mein Planetariumsprogramm zurück, das mir die veränderlichen Koordinaten der Venus zu verschiedenen Zeitpunkten liefern kann.

Es ist klar, dass ich mir ein Programm schreiben werde, das mir die lästige Rechnerei abnimmt. Bei Interesse können Sie ja mal anfragen, ob es schon fertig ist.
 

Die letzte Berichtigung erfolgte am 07.01.2002

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