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Bemühungen um Astronomie,  ein Bericht in Fortsetzungen - Teil  7

Die folgenden Ausführungen sind einigermaßen ermüdend und haben mich, bei meiner angeborenen Faulheit, fast zu viel Aufwand gekostet. Da es nun aber einmal erforderlich ist, nach Möglichkeit nicht nur ungefähr zu wissen sondern auch nachvollziehen zu können, habe ich mich überwunden - und vielleicht spart es einem Interessenten etwas Mühe, wenn er sich des folgenden Rechenbeispiels bedienen kann. Selbstverständlich wird man die einzelnen Schritte programmieren, sei es in einer der Programmiersprachen oder vielleicht als Excel Arbeitsblatt, und dann kann man ja beruhigt alles wieder vergessen. Aber man sollte nicht vergessen, dass einem auch vielerlei Astronomie-Programme diese Arbeit trefflich abnehmen. Dennoch, so sagt sich ein alter Lehrer : Selber machen ist eben doch am schönsten !

Ein Rechenbeispiel zur Koordinatentransformation aus dem Äquatorsystem in das Horizontsystem.

Es soll aus der Rektaszension und Deklination für den Stern Vega deren Höhe über dem Horizont und ihr Azimut berechnet werden für meinen Standort in Rheinau (Breite : 48,6733 °, Länge : 7,9421 °) am 10.6.1998, 18:50:11 Uhr mitteleuropäischer Sommerzeit.

Zunächst braucht man das sog. Julianische Datum. Dies ist eine aus Tag, Monat, Jahr und Greenwicher Zeit (UT) berechnete große Zahl mit Nachkommastellen. Es sollte dieses Julianische Datum nicht mit dem Julianischen Kalender verwechselt werden, dem Vorgänger unseres Gregorianischen Kalenders.

Die Eingabedaten sind :
Tag (T), Monat (M), Jahr (J) und Zeit Z, also z.B. 10.6.1998 18:50:11 Uhr (MESZ, mitteleuropäische Sommerzeit)
T = 10
M = 6
J = 1998
18:50:11 (mitteleurop. Sommerzeit) bedeutet Z = 16:50:11 (UT, Sechzehn Uhr 50 und 11 Sekunden Greenwicher Zeit)

Zu beachten ist ggf. der Fall, dass beim Übergang von unserer Lokalzeit auf UT auch der Tag betroffen sein kann. So wäre z.B. am 10.6.1998 um 1:50:11 Uhr MESZ nach dem Übergang auf Greenwich-Zeit (UT) der Tag jetzt T = 9 und die Stunde 23:50:11 Uhr.

Zuerst berechnen wir aus J,M und T die Zahl p :
p = J + M/100 + T/10000;
p = 1998 + 6/100 + 10/10000 = 1998,0610     ,es entsteht also das Format :  JJJJ,MMTT

Die Zahl CAL resultiert aus der Entscheidung, ob p kleiner ist als 1582,1015 (also vor dem 15.10.1582 liegt) oder gleich bzw. größer. Im ersten Fall wird CAL = 1 , andernfalls wird CAL = 2 gesetzt. Da 1998,0610 größer als 1582,1015 ist heißt für unser Datum CAL = 2

Nun folgt die Berechnung der Zahl j :
Wenn M > 2, dann ist j = J,  sonst ist j = J - 1
Da unser M (=6) größer 2 ist heißt j = J = 1998

Es folgt die Berechnung von m:
Wenn M > 2, dann ist m = M, sonst ist m = M + 12
Da M=6 ist m = M = 6

Nun soll eine Rechenvorschrift mit dem Namen floor eingeführt werden : floor (x) soll bedeuten : Die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x.

Unter Verwendung dieses Begriffes wird nun eine weitere Zahl jd berechnet :
jd = floor(365,25 · j) + floor(30,6001 · (m + 1)) + T + 1720994,5
jd = floor(365,25 · 1998) + floor (30,6001 · (6 + 1)) + 10 + 1720994,5 = 729769 + 214 + 10 + 1720994,5 = 2450987,50

Jetzt folgt die Berechnung der Zahl b :
b = 2 - floor (j/100) + floor( floor (j/100) / 4)
b = 2 - floor (1998/100) + floor ( floor (1998/100) / 4) = 2 - 19 + floor (19 / 4) = 2 - 19 + 4 = - 13

Nun folgt die Berechnung der Zahl JD :
Wenn CAL kleiner 2 ist, ist JD = jd, sonst ist JD = jd + b
JD = 2450987,50 + (-13) = 2450974,50, weil CAL gleich 2 ist. Dieses ist also das Julianische Datum für die Zeit 0 h UT.

Aus diesem JD für UT = 0 Uhr, wird nun ein neues TN berechnet nach der Formel :
TN = (JD - 2451545) / 36525
TN = (2450974,50 - 2451545) / 36525 = -570,5 / 36525 = - 0,0156194387

Daraus wird GMST0 berechnet
GMST0 = 24110,54841 + 8640184,812866 · TN  +  0,093104 · TN · TN  -  0,0000062 · TN · TN · TN
GMST0 = -110844,28895921

Dieses GMST0 wird durch folgende Vorschrift weiter modifiziert :
GMST0 = REST (GMST0/3600 , 24) , das bedeutet : Teile GMST0 durch 3600 und dann das Ergebnis durch 24 und bestimme den Rest:
GMST0 / 3600 = -30,790080266;  Durch 24 dividiert ergibt einen Rest von GMST0 =  -6.790080266.

Als "Rezept zur leichteren Programmierbarkeit" sei die Funktion REST(x,y) hier noch einmal "in Worten" beschrieben :

Man dividiere x durch (das ganzzahlige) y. Vom Ergebnis wird nur der Nachkommateil verwendet, der jetzt wieder mit y multipliziert wird und das Ergebnis darstellt.

 

Das GMST0 wird weiter modifiziert nach der Vorschrift :
Wenn GMST0 < 0 dann bilde GMST0 = GMST0 + 24, sonst belasse GMST0 wie es ist :
GMST0 = -6,790080266 + 24 = 17,209919734
Dies ist nun die mittlere Greenwicher Sternzeit um 0 Uhr UT.

Daraus berechnet man die Greenwicher Sternzeit für den Augenblick (Z = 16:50:11 UT) :
GMST = REST (GMST0 + 1,00273790935 · d , 24)
hierin bedeutet d die dezimale Zeit, die sich folgendermaßen berechnet :
d = 16 + 50/60 + 11/3600 = 16 + 0,833333 + 0,0030555556 = 16,836388889,
also
GMST = REST (17,209919734 + 1,00273790935 · 16,836388889, 24) = REST (17,209919734 + 16.882485395, 24) =
REST (34.092405129 , 24) = 10,092405
De Greenwicher mittlere Sternzeit für den gewählten Augenblick ist also GMST = 10,092405 Uhr
 

Aus GMST berechnen wir die lokale mittlere Sternzeit für den Augenblick auf unserem Längengrad ( 7,9421 °) :
LMST = REST (GMST + 7,9421/15 + 24, 24) = REST (10,62187833 + 24, 24) = REST (34,62187833, 24) = 10,621878462 h,
Die lokale mittlere Sternzeit für den von uns gewählten Augenblick beträgt also LMST = 10,621878462 Uhr
 

Was wir jetzt brauchen ist noch die wahre Greenwicher Sternzeit GAST: (Greenwich Apparent Sideral Time). Der Unterschied zwischen LAST und GAST ist nicht sehr groß und die Mühe der Umrechnung beträchtlich, aber sie muss zunächst einmal sein !

Erstens berechnen wir TE:
TE = (JD + d/24 - 2451545,0)/36525 = (2450974,50 + 16,836388889/24 - 2451545,0)/36525 = -0,015600232
dann Omega (in Grad) = 125,04452° - 1934,136261° · TE  +  0,0020708° · TE · TE  +  TE · TE · TE · 1° / 450000
Omega = 155,217495425 °
Nun kommt die Berechnung von L :  L = 280,4665°+ 36000,7698° · TE  =  -281,153870912°
Jetzt folgt Lst = 218,3165°  +  481267,8813° · TE  =  -7289,574234145 °
DePsi = - 17,20° · sin (Omega)  -  1,32° · sin (2 · L)  -  0,23° · sin (2 · Lst)  +  0,21° · sin ( 2 · Omega)  = -7,867°
Deps = 9,20° · cos (Omega)  +  0,57° · cos (2 · L)  +  0,10° · cos (2 · Lst)  -  0,09° · cos ( 2 · Omega)  =  -9,038°
eps0 = 23,43929111° + (- 46,815° · TE  -  0,00059° · TE · TE  +  0,001813° · TE · TE · TE) / 3600 = 23,439494°
eps = eps0 + Deps / 3600  =  23,4369833°
Depsicoseps =  Depsi · cos (eps) = -7,867° · cos (23,436577°) = -7,218211267°
GAST = GMST + Depsicoseps / (15°/h · 3600) = 10,092271458 h
eigentlich gegenüber GMST = 10,092405 h ein sehr kleiner Unterschied, nur Bruchteile einer Sekunde, aber eben genauer !

Als letzter Schritt fehlt noch die wahre lokale Sternzeit für den Augenblick : LAST
LAST = LMST +  Depsicoseps / (15°/h · 3600) = 10,6217448 h
Falls hier ein negatives Ergebnis herauskommt, sind einfach 24 Stunden zu addieren

Zusammenfassend : Aus der Zeit (inklusive Datum) und der geogr. Länge berechnet man zunächst die "wahre lokale Sternzeit" oder die "wahre Ortssternzeit", LAST.

Der Rest ist, gemessen am bisherigen Aufwand einfach, hier am Beispiel für die Vega (Rektaszension : a  = 18h 36m 56,332s;

Deklination : d  = + 38 ° 47 ' 1,17 ") :

Die Rektaszension in Stunden, dezimal : a  = h + m/60 + s/3600 = 18 + 36/60 + 56,332/3600 = 18,61564778 h

Die Deklination in Winkelgraden, dezimal : d  = 38 + 47/60 + 1,17/3600 = 38,78365833 °

Der Stundenwinkel des Objektes : Theta = REST (LAST - Rektaszension + 24, 24)
Theta : Q = REST (10,6217448 - 18,61564778 + 24, 24) = REST (16,00609702, 24) = 16,00609702 h, bzw. 16,00609702 h · 15 °/h  = 240,0914553°

Die geographische Breite des Beobachtungsortes ist : f  = 48,6733 °

die Höhe : h = arcussinus ( sin(f) · sin(d) + cos(f) · cos(d) · cos(Q))
 h =  arccussinus (sin (48,6733°) · sin (38,78365833°) + cos(48,6733°) · cos (38,78365833°) · cos (240,0914553°))
    =  arccussinus ( 0,750956 · 0,6263815 +  0,66035169 · 0,77951665 · -0,498617017) = arcussinus (0,213719275) = 12,3404°
Unsere gesuchte Höhe ist also :  h = 12,340°

Der Weg zum Azimut :
Zlr = sin(Q) = sin (240,0914553°) = - 0,866822398
Nnr = (cos(Q) · sin(f) - tan(d) · cos(f)) = cos (240,0914553°) · sin(48,6733°) - tan(38,78365833°) · cos(48,6733) =-0.90506605
at = arcustangens (Zlr/Nnr) = arcustangens (-0,866822398/-0,90506605) = 43,7635°

Jetzt beginnt eine Fallunterscheidung :

1) wenn Nnr < 0 und Zlr ungleich 0, dann ist Azimut = 180° + at, das ist bei unseren Werten der Fall, also unser  Azimut = 180° + 43,7638335° = 223,7635° (Wenn Süden als Azimut 0 ° verstanden wird, sonst 43,7635°)

2) wenn Nnr > 0 und Zlr > 0 dann ist Azimut = at

3) wenn Nnr > 0 und Zlr < 0, dann ist Azimut = 360° + at

4) wenn Nnr ungleich 0 und Zlr = 0 , dann ist Azimut = 0°

5) wenn Nnr = 0 dann existiert keine Lösung

Unser gesuchtes Azimut ist also : A = 223,764°(bzw. 43,764°, bezogen auf Norden = 0°)

Anmerkung : Der Wert für die Höhe ist noch der Korrektur bedürftig, denn es ist , zumal bei so geringen Höhen, noch die Brechung (Refraktion) durch die Atmosphäre zu berücksichtigen. Die beobachtete Höhe ist nämlich deswegen etwas größer als die ohne Beachtung dieses Phänomens berechnete Höhe.
 Natürlich würde man an dieser Stelle zu so früher Stunde kaum die Vega sehen können, aber suchen würde ich sie eben dort !

Zur Kontrolle zwei weitere Beispiele (Angenommener Standort gleich wie oben) :

Sirius am 11.12.1937, 21:08:08 UT;   RA = 6h 42m 27,03s;   Dek = - (16° 37' 48,89")
                Ergebnis: h = 8,25859°, Az = 307,0850°

Aldebaran am 4.3.1999, 20:05:37 UT;  RA = 4h 35m 51.67s;  Dek = 16° 30' 17.84"
                Ergebnis: h = 42.8432°, Az = 242,1019°
 

.....  und glauben Sie ja nicht, ich hätte das alles verstanden ! Vermitteln kann man etwas aber leider nur, wenn man es selbst verstanden hat. - Es bleibt ausschließlich den "genialsten Pädagogen" vorbehalten, es auch zu schaffen, ohne diese triviale Bedingung erfüllen zu müssen !

So bleibt also diese Seite im besten Fall eine nachvollziehbare Rezeptur, und das wäre ja auch schon etwas!

Letzte Berichtigung :   16.07.2002

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