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Bemühungen um Astronomie,  ein Bericht in Fortsetzungen - Teil  5

Es ist mir jetzt möglich durch die Angabe von Azimut und Höhe einen Ort am Himmel zu bezeichnen und ihn, besonders leicht mit dem Theodolit (an dieser Stelle liegt keine unabsichtliche Fehlleistung vor : Nicht: "Theodolith", denn das Wort hat nichts mit "Stein" zu tun, und auch nicht "Theodoliten", denn diese ältere Deklinationsform ist inzwischen sicher völlig unüblich geworden !), auch aufzufinden. Ich möchte als Beispiel 3 Sterne so charakterisieren, die gleichzeitig und vom gleichen Ort aus beobachtet worden sein sollen. Tatsächlich stammen die Werte aus einem Astronomie-Simulationsprogramm (Guide V. 6.0) :

Merak    Azimut : 308,5 °, Höhe : 47,91 ° Dubhe  Azimut : 316,2 °, Höhe : 49,80 ° Polaris  Azimut : 0,367 °, Höhe : 47,97 °

Es soll heute der Versuch unternommen werden, am Himmel auch schon jetzt, mit dem vorläufig noch sehr unvollkommenen Rüstzeug, nach etwas Gleichbleibendem zu fahnden. Es ist ja offensichtlich, dass die Örter der Sterne am Himmel eine sehr kurzfristige Eigenschaft sind und dazu kommt, dass das Merkmalspaar (Azimut und Höhe) auch noch vom Ort der Beobachtung abhängt. Trotzdem gibt es aber, wie jeder weiß, auch weit weniger Flüchtiges am Himmel, zum Beispiel die Sternbilder. Diese verändern zwar ebenfalls ihren Ort am Himmel, aber die relative Position der einzelnen Sterne eines Sternbildes zueinander bleibt offenbar konstant. Dies ist auch mit den oben genannten Sternen Merak und Dubhe der Fall, die die beiden hinteren "Räder" des großen Wagens bilden. Was also bei ihnen konstant bleibt, ist zunächst der Abstand zueinander.

Was heißt nun aber "Abstand" ? Können wir den etwa messen ? Denken wir doch daran, dass es ja sicher unwahrscheinlich ist, dass beide Sterne die gleiche Entfernung von der Erde haben. Es ist viel wahrscheinlicher, dass einer der Erde näher ist als der andere. Dies bedeutet dann aber, dass der wahre Abstand der beiden  von der Erde aus nicht unmittelbar bestimmt werden kann, beispielsweise aus den oben genannten Koordinaten.

Was wir aber intuitiv meinen, wenn wir in diesem Zusammenhang "Abstand" sagen, ist sicherlich ein scheinbarer Abstand, der die unbekannte Entfernung von der Erde außer Acht lässt und eher etwas mit dem Abstand zweier Punkte auf einer gemeinsamen Kugeloberfläche - der "Himmelskugel", bzw. Himmelshalbkugel - zu tun hat. So entspricht es also dem Abstand zweier Städte auf der Oberfläche der Erde.

Aus meiner Beschäftigung mit solchen Fragen kenne ich eine Formel, die es gestattet, den kürzest möglichen Abstand - auf einem sog. Großkreis - zu berechnen, wenn die geografischen Koordinaten der beiden Orte gegeben sind (und unter der etwas vereinfachenden Voraussetzung, dass die Erde Kugelform habe) : Nehmen wir als Beispiel den Abstand von Berlin nach Madrid (laut einer Entfernungstabelle auf einer Hallwag-Karte: 2328 km) :
Berlin : 52,45 ° Nord (=Breite) und 13,30 ° Ost (=Länge)   und   Madrid : 40,42 ° Nord und 3,68 ° West (entspricht - 3,68 °),

Quelle : ftp://ftp-i2.informatik.rwth-aachen.de/pub/arnd/GPS/koordinaten/LatLon_WorldCityList.txt
 

Entfernung = R · arccos(sin (Breite Berlin) · sin(Breite Madrid) + cos(Breite Berlin) · cos(Breite Madrid) · cos(Länge Berlin - Länge Madrid))

dabei bedeutet R den Radius der Erdkugel : R = 6371 km

Zum Nachrechnen :  sin (52,45°) = 0,79282;  sin ( 40,42°) = 0,64839; cos (52,45°) = 0,60945;  cos (40,42°) = 0,76131;

cos (13,30° - (-3,68°)) = cos (16,98°) = 0,95641

dann : (0,79282 · 0,64839 + 0,60945 · 0,76131 · 0,95641) = 0,95781

und arccos (0,95781) = 16,7016 °  bzw. im Bogenmaß 16,7016° · 3,14159 / 180° = 0,2915

die Entfernung ist dann 0,2915 · Erdradius = 0,2915 · 6371 km  = 1857 km

Was lehrt uns das ? Die Entfernungstabelle meint offenbar nicht die kürzeste Strecke sondern vielleicht die minimalen Straßenkilometer. Rasch eine Abschätzung : Wenn man "um's Eck" fahren muss, ist bei einem Quadrat der Weg Quadratwurzel (2) = 1,4 mal so lang wie auf der Diagonalen. Wenn es also auf dem ganzen Weg etwa so zuginge dann wäre mit einem ungefähren Weg von (1857 km · 1,4) also etwa 2600 km zu rechen, was schon besser an die obige Angabe heran käme. Was wir natürlich auch nicht vergessen wollen : Bei dieser Art der Entfernung ist nirgends von etwaigen Höhenunterschieden der beiden Städte die Rede. Es handelt sich also wirklich nur um eine Überlegung, die für eine Kugeloberfläche, nicht aber genau für unsere Fragestellung gilt. Übrigens liegt Madrid etwa 600 m höher als Berlin. Die oben auftauchenden 16,7016 ° wären aber der sog. Winkelabstand zwischen Berlin und Madrid, wenn man vom Erdmittelpunkt aus schauen könnte. Diesen Winkel würde von dort der Blick des Betrachters überstreichen, wenn er ihn von Berlin nach Madrid wendete. Jetzt ist das Wort gefallen, das ich die ganze Zeit im Kopf hatte.

Was nämlich am Himmel aus den gemessenen Azimut- und Höhenwerten berechnet werden kann, sind die Winkelabstände der betreffenden Punkte an der Himmelskugel. Hierbei bleibt die unterschiedliche Entfernung der Sterne von der Erde genauso unberücksichtigt, wie der oben erwähnte Höhenunterschied von Berlin und Madrid. Statt der Breitengrade setzen wir dazu in die entsprechende Gleichung einfach die Höhen über dem Horizont und statt der Längegrade die Azimutwinkel ein. Der Winkelabstand von Merak und Dubhe beträgt also :
W1 = arccos (sin(47,9°)·sin(49,8°)+cos(47,9°)·cos(49,8°)·cos(308,5°-316,2°)) = arccos (0,99555) = 5,408 °

Zur Übung gleich noch der Winkelabstand von Dubhe und dem Polarstern :
W2 = arccos (sin(49,8°)·sin(47,97°)+cos(49,8°)·cos(47,97°)·cos(316,2°-0,367°)) = arccos (0,87733) = 28,678 °

Und was lernen wir hieraus ? Dass tatsächlich die Regel zum Auffinden des Polarsterns gilt, die da lautet : Man verlängere den Abstand zwischen den beiden hinteren Radsternen des großen Wagens 5 mal, um auf gleicher Linie zum Polarstern zu gelangen. Wir schauen nach und finden : 28,678 / 5,408 = 5,3 also ist der Winkelabstand von Dubhe bis Polaris tatsächlich 5,3 mal so groß wie der von Merak bis Dubhe.

   Wenn man jetzt zu einem späteren Zeitpunkt die Positionen der 3 Sterne gleichzeitig messen würde, erhielte man natürlich für jeden je einen neuen Azimut- und Höhenwert. Wenn man aber daraus wieder die Winkelabstände ausrechnete, blieben diese im Rahmen der Messgenauigkeit konstant. Und man erinnert sich, nach etwas Konstantem suchte ich doch, bei all dem, was durch seine Veränderlichkeit am Himmel so verwirrt.
Es gilt also : Die Winkelabstände zwischen Fixsternen sind konstant.

Letzte Berichtigung : 07.01.2002

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